벡터 필드를 0이 아닌 배수로 밀어내는 Diffeomorphisms

Question

닫힌 매끄러운 매니 폴드가 있습니까 $M$ 각 진짜에 대해 $x\neq 0$ 사라지는 벡터 필드가 없습니다. $v$ 의 위에 $M$ 그리고 diffeomorphism $\phi:M\to M$ 그런 $\phi_*v=xv$?

Answer 1

그러한 다양체가 존재합니다. 먼저 압축되지 않은 예제를 구성 해 보겠습니다.

취하다 $PSL(2,\mathbb R)$ 그리고 두 $1$-매개 변수 하위 그룹 $$\begin{pmatrix} e^{t} & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 조치 고려 $PSL(2,\mathbb R)$왼쪽에 곱셈으로이 두 그룹의 그때$v$ 두 번째 흐름에 접하는 벡터 필드이고 첫 번째 흐름은 $1$-확장 될 diffeos의 매개 변수 가족 $v$ 양의 상수로.

이제 간결한 예제를 얻으려면 quotient $PSL(2,\mathbb R)$ 기본 그룹의 공동 조밀 한 행동에 의해 오른쪽에서 $\Gamma$ 조밀 한 쌍곡선 표면의.

기호를 뒤집는 방법을 이해해야합니다. $v$. 이번 리콜을 위해 우리는$PSL(2,\mathbb R)/\Gamma$ 쌍곡선 표면의 단위 접선 번들 ( $\pi_1$ 와 동등하다 $\Gamma$). 자, 주어진 흐름$v$호로 사이클 흐름입니다. 그것을 뒤집기 위해, 우리는 등척성 인볼 루션을 뒤집는 방향을 인정하고 방향을 바꾸는 쌍곡선 표면을 취할 수 있습니다. 이러한 인볼 루션은 단위 접선 번들로 명확하게 들어 올려지고 호로 사이클 흐름을 역으로 보냅니다.