벨 상태 준비
큐 비트에 대한 강의를 봤어요. 그들은 Bell 상태를 생성하는 방법에 대해 이야기하고있었습니다. 그들은 다음과 같이 설명했습니다.
- 상태 00 준비 : $$\left |0 \right> \otimes \left |0 \right>$$
- Hadamard 적용 : $$ (H \otimes I)(\left |0 \right> \otimes \left |0 \right> ) = \left |+0 \right> = \frac{\left|00 \right> + \left |10 \right>}{\sqrt{2}}$$
- CNOT을 적용하여 상태 00 + 10에서 상태 00 + 11로 이동합니다. $$ CNOT = \left |0 \right> \left <0 \right| \otimes I + \left |1 \right> \left<1 \right| \otimes X $$ 다음과 같이 : $$CNOT\times\frac{\left|00 \right> + \left |10 \right>}{\sqrt{2}}=\frac{\left |0 \right> \left <0|0 \right> \otimes I \left |0 \right> + \left |0 \right> \left <0|1 \right> \otimes I\left |1 \right> + \left |1 \right> \left <1|0 \right> \otimes X \left |0 \right> + \left |1 \right> \left <1|1 \right> \otimes X \left |0 \right> }{\sqrt{2}} = \left | \Omega \right >$$
CNOT의 제품과 상태를 어떻게 따를 수 있을지 모르겠습니다. $\left|00 \right> + \left |10 \right>$위에서 설명한대로 확장 할 수 있습니다. 너희들이 나를 도울 수 있기를 바랍니다.
답변
3 번에서 썼 듯이 $CNOT$두 개의 텐서 곱의 합이며, 각각 두 개의 행렬이 포함됩니다. 첫 번째 텐서 곱을 고려하고 두 행렬을 각각 적용합니다.$|0\rangle$ 그리고 $|0\rangle$ (그만큼 $|00\rangle$2에서 얻은 상태에서 쌍을 이루고 텐서 곱을 수행하면 최종 확장의 1/4을 얻습니다. 동일한 두 개의 행렬을 각각 적용$|0\rangle$ 그리고 $|1\rangle$ (그만큼 $|01\rangle$2에서 얻은 상태에서 쌍을 이루고 텐서 곱을 수행하면 최종 확장의 2 분기를 얻습니다. 그런 다음 CNOT 확장의 두 번째 텐서 곱을 사용하여 반복하면 최종 확장의 3/4 분기를 얻습니다. 곧 곱셈의 분배 법칙을 사용하십시오.
직접 행렬 표현을 사용하는 것이 좋습니다.
입력 상태 $|00\rangle$ 벡터로 쓸 수 있습니다. $$x= \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0 \end{pmatrix} $$
첫 번째 단계, 즉 첫 번째 큐 비트의 Hadamard 게이트와 두 번째 큐 비트의 "아무것도"는 연산에 의해 설명됩니다. $$ H \otimes I = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} $$
벡터 곱하기 $x$ 매트릭스 $H \otimes I$ 벡터 제공 $$ y=\ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}, $$ 이것은 행렬의 첫 번째 열입니다.
이제 행렬로 설명 된 CNOT 게이트를 적용 할 수 있습니다. $$ \text{CNOT}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}, $$ 그래서 $$ z=\text{CNOT}\, y= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
계산 기반에서 벡터 $z$ 이다 $$ z = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle+|11\rangle), $$ 원하는 벨 상태입니다.
질문에 다른 방식으로 대답하겠습니다. 두 큐 비트가 아래와 같이 표현된다고 가정 해 봅시다.
고려하십시오 $|00\rangle$,로 표시 $|q_1q_0\rangle$, 게이트를 적용하기 전 위 회로의 상태이며 원래 상태와 동일합니다. $|0\rangle \otimes |0\rangle$.
이제 2 단계에서 hadamard를 적용하는 것은 hadamard를 적용하는 것과 동일합니다. $q_0$. 우린 알아$q_0$ 이다 $|0\rangle$. 그래서 hadamard 게이트를 적용하면$|0\rangle$ 그것은 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$. (의심스러운 경우 간단한 행렬 곱셈을 수행하여 이것을 확인하십시오).
보자 $q_1$ 이제 게이트가 적용되지 않았으므로 그대로 유지됩니다. $|0\rangle$.
이제 결합 된 상태는 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$hadamard 게이트를 적용한 후. 이제 2 큐 비트에 CNOT 게이트 (3 단계와 동일)를 적용합니다. 고전적인 CNOT 게이트는 단순히 제어 비트가 1이면 대상 비트가 뒤집힌다는 의미이므로 큐 비트에 적용된 CNOT 게이트에 동일한 논리를 적용 할 수 있습니다. 우리의 경우 제어 큐비 트는$q_0$ 타겟 큐비 트는 $q_1$. 그래서 CNOT을$|q_1q_0\rangle$
$CNOT(\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle))$ 맨 오른쪽부터 신청하면 $|01\rangle$ 변환 $|11\rangle$ 제어 큐 비트 ($q_0$)이 기여하고 있습니다. $|1\rangle$ 여기에 타겟 큐 비트가 $q_1$ 기여하고있는 $|0\rangle$ 뒤집다 $|1\rangle$. 마찬가지로 왼쪽으로 이동하면$|00\rangle$ 남아있을 것이다 $|00\rangle$ 제어 큐 비트로 $q_0$ 기여하고있다 $|0\rangle$ 이 부분에는 뒤집기가 필요하지 않으므로 qubit ($q_1$) 그대로 유지 ($|0\rangle$). 그래서 두 가지를 합치면
CNOT ($\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$) = $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$
이러한 사고 방식은 더 큰 변환과 더 많은 큐 비트를 다룰 때 도움이 될 것입니다. 도움이 되었기를 바랍니다.