비표준 모델에서 소수로 나누기
저는 현재 1 차 논리를 공부하고 있으며 문제를 해결하기 위해 고군분투하고 있습니다.
우리는 산술의 비논리적 기호와 산술의 공리를 사용하여 1 차 언어를 연구합니다.
비표준 모델을 정의합니다. $\mathfrak{M}$ 의 $T$ 존재하는 $a \in |\mathfrak{M}|$ 그런 $\mathfrak{M}(S^n0)<\mathfrak{M}(a)$, 모든 $n$. (같은$a$ 비표준 번호라고 함).
나는 그것을 증명해야합니다 $\mathfrak{M}$, 비표준 모델 $T$및 비표준 번호 $b \in |\mathfrak{M}|$, 존재 $a <\mathfrak{M}(b)$ 각각에 대해 $p$ 초기, $\mathfrak{M}(S^p0)$ 분할 $a$.
시작해야할지 모르겠습니다. 확장을 통해 비표준 모델을 구축 할 수 있습니다. $\mathcal{L}$ 상수로 $c$ 그리고 우리는 $\Sigma=\{0<c,\text{S}0<c,\text{SS}0<c,\cdots\}.$ 상수로 새로운 제약을 추가하는 것을 생각했습니다. $d$ 모두로 나눌 수 있습니다 $p$ 프라임 및 다른 제약 추가 $d<c$. 그리고 완전성 정리로 결론을 내립니다.
하지만이 방법이 내 문제에 적용될 수 있을지 모르겠습니다.
누구든지 나를 도울 수 있습니까?
감사합니다!
답변
Math.SE에 오신 것을 환영합니다!
새로운 모델을 만드는 대신 $\mathcal{M}(c,d)$, 문제는 모델에서 작업하도록 요청합니다. $\mathcal{M}(b)$ 당신이 주어진 것입니다.
다음 세 가지 진술은 산술의 공리에서 따온 것이므로 다음을 포함한 모든 산술 모델에 적용됩니다. $\mathcal{M}(b)$.
- 모든 $n$, 우리는 번호를 찾을 수 있습니다 $m$ 다음보다 작거나 같은 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. $n$.
이것은 귀납 원리에 따른 것입니다. 기본 케이스에서$n=0$ 우리는 선택할 수 있습니다 $m = 1$. 귀납적 인 경우,$n=k+1$, 그리고 귀납적 가설에 의해 $m'$ 다음보다 작거나 같은 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. $k$. 하지만 숫자$nm'$ 다음보다 작은 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. $n$ (이러한 모든 숫자는 $m'$), 그리고 명확하게 $n$그 자체도 마찬가지입니다. 그래서 우리는 설정하여 귀납적 사례를 증명할 수 있습니다.$m=nm'$. 귀납 원리에 따라 우리는$n$, 우리는 번호를 찾을 수 있습니다 $m'$ 다음보다 작거나 같은 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. $n$.
이전 문장을 사용하면 산술이 다음을 증명한다는 것을 알 수 있습니다.
모든 $n$, 고유 한 최소 숫자가 있습니다.$Q_n$ 다음보다 작거나 같은 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. $n$, (최소한 다른 숫자의 경우 $P_n$ 이 속성으로 불평등 $Q_n \leq P_n$ 보류).
모든 $n > 1$, 고유 한 가장 큰 숫자가 있습니다. $m$ 그런 $Q_m<n$.
우리는 부른다 $x \in \mathcal{M}(b)$ 표준 if$x \leq \mathcal{M}(b)(S^ko)$ 일부 $k \in \mathbb{N}$. 만약$x$ 표준입니다. $Q_x$, 예를 들어 $Q_x \leq \mathcal{M}(b)(S^{k!}o)$.
이제 고려하십시오 $b \in \mathcal{M}(b)$. 위의 세 번째 진술이 유지되기 때문에$\mathcal{M}(b)$, 우리는 가장 큰 $m \in \mathcal{M}(b)$ 그런 $Q_m < b$. 이 경우$m$ 표준이었습니다. $m+1$, 그리고 위의 관찰에 의해 $Q_{m+1}$게다가. 그러나$b$ 표준이 아니므로 $Q_{m+1} < b$ 그와 모순되는 $m$ 가장 큰 수는 $Q_m < b$. 따라서$m$ 표준이 아니므로 $m$ 모든 것보다 크다 $\mathcal{M}(b)(S^po)$ 와 $p \in \mathbb{N}$. 그러나$Q_m$ 다음보다 작은 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. $m$, 그래서 우리는 설정할 수 있습니다 $a=Q_m$ 얻기 위해 $a<b$ 그것은 형식의 모든 숫자로 나눌 수 있습니다. $\mathcal{M}(b)(S^po)$ 와 $p \in \mathbb{N}$. 이것은 보여 질 것이었다.