복소수 증명의 곱셈 역

Question

나는 최근에 복소수에 대한 곱셈 역이 존재 함을 보여주고 다음과 같이 복소수 형태로 표현했습니다.

가정 $z = a + bi$0이 아닌 복소수입니다. 보여줘$z$ 곱셈의 역수를 가지고 그것을 형식으로 표현합니다. $c + di$.

허락하다 $z^{-1}$ Z의 곱셈 역을 나타냅니다. 그런 다음

$$z^{-1}z = 1 = zz^{-1}$$

$$\implies z^{-1}(a+bi) = 1 = (a+bi)z^{-1}$$

그래서,

$$z^{-1} = \frac{1}{a+bi}$$

분자와 분모에 켤레를 곱하기 :

$$z^{-1} = \frac{a-bi}{a^2 + b^2}$$

$$z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2})$$

따라서 0이 아닌 모든 복소수에 대해 $z$, 곱셈 역이 존재합니다. $z^{-1}$, 어디 $z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2})$

QED.

그러나 역이 존재한다고 가정했기 때문에이 증명은 순환 적이라고 들었습니다. 이 문제를 어떻게 해결할 수 있습니까?

응답은 대단히 감사합니다.

Answer 1

당신이 한 일은 유용하지만 증거는 아닙니다. 이제 확인하십시오$$(a+bi)(\frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2}))$$ $$=(\frac{a}{a^2 + b^2} - i(\frac{b}{a^2 + b^2}))(a+bi)=1$$ 직접 계산하여.

Answer 2

역의 "확장 된"형태가 역 자체의 존재를 가정하지 않고 곱셈 역의 속성을 충족한다는 것을 보여 주면 순환 성을 피할 수 있습니다. 그것을 찾는$$\frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$$ 공식적으로 작성할 때 실제로 표시하지 않는 증명의 "스크래치 작업"입니다.

Answer 3

몇 가지 문제가 있습니다. 아주 미묘한 것.

우선 우리는 형태의 숫자가 무엇인지 전혀 모릅니다. $\frac 1{a+bi}$심지어 의미 합니다. 우리가 한 것은$1$ 그 아래에 막대를 놓고 쓰다 $a+bi$그 아래. 어떻게 든 규칙을 만들 수 있습니다$\frac {a+bi}{c+di}$(그게 무슨 뜻 이든간에 ) 곱하면$\frac {e+fi}{g+hi}$ 같을 것이다 $\frac {(a+bi)(e+fi)}{(c+di)(g+hi)}$그러나 그것은 아무 의미 가 없습니다 .

우리는 그것을 정의해야합니다 $\frac 1z$ 복소수를 의미해야합니다 $w$ 그래서 $z \cdot w = 1$(이 있다고 가정하지 입니다 ; 어느 쪽도 아니 우리는이 같은 번호, 그리고 고유한지 어느 가정하는 이유). 그리고 우리 가 가정 하더라도$w$ 그래서 $w(a+bi) =1$그리고 우리는 그것을 다음 과 같이 씁니다.$w=\frac 1{a+bi}$ 그리고 있다면 $v$ 그래서 $v(c+di) = 1$ 그래서 우리는 쓸 수 있습니다 $v=\frac 1{c+di}$ 우리는 믿을 이유가 없습니다 $wv = \frac 1{a+bi}\cdot \frac 1{c+di}$ 그것은 실제로 같을 것입니다 $\frac 1{(a+bi)(c+di)}$. (우리 는 그것을 증명할 수 있지만 .)

아니 후 .....

한 $z=a+bi = 0 \iff a^2 + b^2 = 0$그런 다음 존재 합니까$w= \frac a{a^2 + b^2} -i\frac b{a^2 + b^2}$그것은 이다 그 사실$(a+bi)(\frac a{a^2 + b^2} -i\frac b{a^2 + b^2}) = (a\cdot \frac 1{a^2+b^2} + b\frac 1{a^2 + b^2}) + i(a \frac b{a^2+b^2} - b\frac a{a^2+b^2}) = \frac {a^2 + b^2}{a^2 + b^2} + i(\frac {ab}{a^2+b^2} - \frac {ab}{a^2 + b^2}) = 1$

그래서 역 이 존재합니다. 그러나 우리는 그것이 독특함을 증명해야합니다. 이제 내가하는 방식으로 간단히 방정식을 설정합니다.$(a+bi)(c+di) =1$ 그리고 해결 $c$ 과 $d$ 그리고 솔루션이 독특하다는 것을 보여주세요 ....하지만 너무 늦었습니다!

그래도 말할거야 $(a+bi)(c+di) =1$ 과 $(a+bi)(e+fi)=1$ 그때 $c+di = (c+di)\cdot 1 = (c+di)\cdot (a+bi)(e+fi)= [(c+di)(a+bi)](e+fi)= 1(e+fi) = e+fi$. 그래서 거기에 있다 하나의 가능한 해결책은 우리는 알고있다 $\frac a{a^2 + b^2} -i\frac b{a^2 + b^2}$ 하나의 솔루션이므로 유일한 솔루션입니다.