복소수의 크기 찾기

Question

물리학 문제 중에 다음과 같은 복소수 표현식에 도달했습니다.

$$ \frac{e^{i\theta}\left(e^{iP\theta}-1\right)}{e^{i\theta}-1} $$여기서 P는 일정합니다. 이 복소수를 형식으로 표현하고 싶습니다.$z = |z|e^{i\alpha}$. 한 시간이 넘는 시간 동안 그 형태를 얻기 위해 고군분투하고 실패했습니다. 내가 여기서 무엇을 놓치고 있습니까? 불쾌한 대수를 많이 포함합니까?

Answer 1

$$e^{iP\theta}-1 = e^{iP\theta/2}(e^{iP\theta/2}-e^{-iP\theta/2})$$

$$e^{i\theta}-1 = e^{i\theta/2}(e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2})$$

$$ \frac{e^{i\theta}\left(e^{iP\theta}-1\right)}{e^{i\theta}-1}= \frac{e^{i(P+1)\theta/2}(e^{iP\theta/2}-e^{-iP\theta/2})}{e^{i\theta/2}-e^{-i\theta/2}}=\frac{\sin P\theta/2}{\sin \theta/2}e^{i(P+1)\theta/2}$$

Answer 2

$x$ 과 $y$ 안녕하세요.

대체 (확실히 열등하지만 실행 가능한) 접근 방식.

가정합니다 $\theta$ 변수입니다. $P \in \mathbb{R}$, 그 $[e^{(i\theta)} - 1] \neq 0$ 그리고 당신은 둘 다 표현하고 싶다 $|z|$ 과 $\alpha$ 의 기능으로 $\theta$.

세트 $x_1 = \{[\cos(P\theta)] - 1]\}$ 및 설정 $y_1 = [\sin P\theta].$

세트 $x_2 = [\cos \theta]$ 및 설정 $y_2 = [\sin \theta].$

세트 $x_3 = \{[\cos(\theta)] - 1]\}$ 및 설정 $y_3 = [\sin \theta].$

복잡한 0이 아닌 경우 $z$ 과 $w$,
어디서$\overline{w}$ 복합 켤레를 의미합니다. $w$, 당신은 그것을 가지고

$$ \frac{z}{w} = \frac{1}{|w|} \times [z \times \overline{w}].$$

허락하다 $N$ 복소수를 표시 $(x_1 + iy_1) \times (x_2 + iy_2)$.

허락하다 $D$ 표시하다 $(x_3 + iy_3)$.

그런 다음 복소수를 원합니다. $z = u + iv$, 어디

$$ z = \frac{N}{D}.$$

분명히, $u$ 과 $v$ 의 기능이 될 것입니다 $\theta$.

그러면 계산이 간단 해집니다. $|z| = \sqrt{u^2 + v^2}$ 그리고

지정 $\alpha$ 계수 이내 $2\pi$ 레

$\cos \alpha = \frac{u}{|z|}, ~~ \sin \alpha = \frac{v}{|z|}.$

그것은 사실이다 $u$ 과 $v$매우 복잡한 표현 이 될 것 입니다.$\theta$그리고 표현 을 단순화 하려는 시도$\alpha$ 측면에서 $\theta$ 악몽이 될 것입니다.

그러나 알고리즘 제공 측면에서 이러한 점이 얼마나 관련이 있는지는 불분명합니다.