보여줘 $S_{\mathbb{N^*}}$ 셀 수 없습니다.

Question

허락하다 $S_{\mathbb{N^*}}$ 모든 순열의 집합 $\mathbb{N^*}$. 보여줘$S_{\mathbb{N^*}}$ 셀 수 없습니다.

허락하다 $f : \mathbb{N^*} \mapsto S_{\mathbb{N^*}}$bijection입니다. 나는 소개했다$$ \sigma(k) = \begin{cases} \min \{ l \mid l\neq f(k)(k) \text{ et } l \neq \sigma(i) \, \forall i \in [1,k-1] \} ,&\text{if }k>1\\ \min \{ l \mid l\neq f(k)(k) \} &\text{if }k=1\\ \end{cases} $$ 분명하다 $\sigma$주입 적이지만, 나는 그것이 객관적이라는 것을 어떻게 보여줄지 모르겠습니다. 힌트가 있습니까?

Answer 1

불행히도 $\sigma$ 몇 가지 조건 없이는 추측 할 필요가 없습니다. $f$. 한다고 가정$f(k)(k)=1$ 각각 $k\in\Bbb N^*$; 이것은 확실히 가능합니다. 그때$1$ 범위에있을 수 없습니다. $\sigma$.

너의 $\sigma$ 할 경우 surjective 수$f$ 속성이 있습니다 $\{k\in\Bbb N^*:f(k)(k)\ne m\}$ 각각에 대해 무한하다 $m\in\Bbb N^*$. 그렇지 않다면$m=\min(\Bbb N^*\setminus\operatorname{ran}\sigma)$. 만약$\sigma(k)=n>m$, 다음 중 하나 $f(k)(k)=m$, 또는 $\sigma(i)=m$ 일부 $i<k$. 후자는 불가능하므로$f(k)(k)=m$ 유한 한 많은 사람들을 위해 $k\in\Bbb N^*$, 불가능한 경우 $\{k\in\Bbb N^*:f(k)(k)\ne m\}$ 무한합니다.