보여줘 $V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U$ 어디 $V_\lambda$ Specht 모듈이고 $U$ 기호 표현입니다 $S_n$.

Question

이것은 Fulton / Harris 표현 이론의 연습 4.4 (c)입니다. 대부분의 정의는 여기에서 찾을 수 있습니다.https://en.wikipedia.org/wiki/Young_symmetrizer. 허락하다$\lambda \vdash n$. Specht 모듈$V_\lambda$ 환원 할 수없는 표현입니다. $S_n$ 이미지를 통해 정의 $\mathbb{C}[S_n]c_\lambda$ 의 $c_\lambda$ 이다 $\mathbb{C}[S_n]$ 어디 $c_\lambda$Young symmetrizer입니다. 나는 그것을 보여주고 싶다$$ V_{\lambda'} \cong V_\lambda \otimes U $$ 어디 $U$ 기호 표현이고 $\lambda'$ 파티션입니다 $n$ 결합하다 $\lambda$. 그룹 대수의 하위 모듈로$\mathbb{C}[S_n]$, 우리는 $U = \mathbb{C} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) \pi$.

누구든지 이것을 보여줄 수 있습니까? 나는 정의해야$\mathbb{C}[S_n]$모듈 동형이 있지만 Specht 모듈의 요소가 어떻게 생겼는지 실제로 이해하지 못합니다. 예를 들어 James에서 polytabloid를 사용하는 증명을 보았지만 대신 Specht 모듈의 구성을 그룹 대수의 하위 모듈로 이해하려고합니다.

Answer 1

허락하다 $\Phi:\mathbb{C}[S_n]\rightarrow \mathbb{C}[S_n]$ 순열을 보내는 선형지도 $\sigma$ ...에 ${\rm sgn}(\sigma)\ \sigma$. 다음의 대수 자동 형태입니다.$\mathbb{C}[S_n]$ Specht 모듈을 매핑합니다. $\lambda$ 조옮김을 위해 $\lambda'$. 힌트 :이지도입니까$S_n$-등변 성? 그렇지 않다면 어떻게 수정할 수 있습니까?

Answer 2

Abdelmalek Abdesselam의 힌트에 따라 먼저 $\Phi:\mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{C}[S_n]$ 통하다 $\sigma \mapsto \text{sgn}(\sigma)\sigma$선형 확장. 매핑하는 대수 자동 형태입니다.$V_\lambda \to V_{\lambda'}$. 모든$\pi,\sigma \in S_n$, 우리는 \begin{align*}\Phi(\pi\sigma) & = \text{sgn}(\pi) \pi \text{sgn}(\sigma) \sigma\\ & = \text{sgn}(\pi)\Phi(\sigma). \end{align*}

이제지도 정의 $\rho:V_\lambda \otimes U \to V_{\lambda'}$ 통하다 $\tau c_\lambda \otimes u \mapsto \Phi(\tau c_\lambda)u$선형 확장. codomain이 정확합니다.$\Phi(\tau c_\lambda) \in V_{\lambda'}$. 이지도는$S_n$-등변 량 이후 $\pi,\tau \in S_n$ 과 $u\in U$우리가 \ RHO {정렬 *}를 시작 \ (\ 파이 (\ 타우 C_ \ 람다 \ otimes U)) = \ RHO (\ PI \ 타우 C_ \ 람다 \ otimes \ PI U) DEF (\ 텍스트 {.의$S_n$-내부 텐서 곱에 대한 작업}) \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ pi u \\ & = \ Phi (\ pi \ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {이후 $U$ 기호 표현}) \\ & = \ text {sgn} (\ pi) \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) \ text {sgn} (\ pi) u & (\ text {def. of $\Phi$}) \\ & = \ pi \ Phi (\ tau c_ \ lambda) u \\ & = \ pi \ rho (\ tau c_ \ lambda \ otimes u). \ end {정렬 *}