분석적 연속에 대한 혼란.
홀로 모픽 함수의 분석적 연속의 정의는 다음과 같이 설명됩니다.
허락하다 $f_{1}$ 과 $f_{2}$ 두 도메인 (개방 및 연결)에 대한 두 가지 분석 기능 $\Omega_{1}$ 과 $\Omega_{2}$ 그런 $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$. 만약$f_{1}$ 과 $f_{2}$ 동의하다 $\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, 우리는 말을 $f_{2}$ 분석적 연속이다 $f_{1}$ 의 위에 $\Omega_{2}$, 그 반대.
더 작은 버전은 다음과 같습니다.
만약 $f$ 도메인에 대한 분석 $D\subset\mathbb{C}$ 과 $F$ 더 큰 영역에서 분석적입니다. $E\subset\mathbb{C}$ 그런 $f=F$ 의 위에 $D\subset E,$ 그때 $F$ 분석적 연속이다 $f$ 의 위에 $E$.
필자가 읽은 바에 따르면 이러한 기술을 사용하면 더 작은 영역에서 함수를 정의하고 분석적으로 더 큰 영역으로 확장 할 수 있습니다. 하지만이 정의가 왜 그렇게 할 수 있는지 이해할 수 없습니다.
나를 혼란스럽게하는 것은 정의가 $f=F$ 교차로에서 $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, 그래서 아마도 $f\neq F$ 의 위에 $\Omega_{2}$, 그러면 어떻게 알 수 있습니까? $f$ 분석 중입니다. $\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?
나는 다음과 같이 신원 정리를 사용하려고했습니다.
허락하다 $f$ 과 $g$ 도메인에서 두 개의 홀로 모픽 함수 $D$ 그런 $f=g$ 부분 집합에 $S\subset D$ 한계점을 포함하는 경우 $f=g$ 전체적으로 $D$.
그러나 이것은 거꾸로 보입니다. 분석적 연속이라는 가설에 따르면 우리는$f=g$ 의 위에 $S$, 및 $g$ 분석 중입니다. $D$, 우리는 정말로 $f$ 전체적으로 분석적이다 $D$ (이것은 분석적 연속의 목적입니다, 그렇죠? $f$ 전체적으로 분석적으로 $D$.)
나는 이것을 지나치게 생각하고 혼란 스럽습니까 ?? 우리가해야 할 것 같아요$f_{1}=f_{2}$ 전체적으로 $\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$,하지만 증명하는 방법을 모르겠습니다.
편집 1 : (일부 설명, 가능한 답변 및 참조)
혼동 (나쁜) 질문을한다면 죄송합니다. 나의 혼란은 분석적 연속이 존재하더라도 그것이 도움이되는 것을 의미하지 않는다는 것입니다. 분석 기능 만 제공합니다.$F$ 더 큰 영역에서 $\Omega_{2}$ 그런 $F|_{\Omega_{1}}=f$ ...에 대한 $\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$. 그러나 그것에 대해 아무것도 말하지 않습니다$f$, $f$ 아직 $\Omega_{1}$. 그래서 분석적 연속이 왜 그 영역을 확장 할 수 있는지 이해하지 못합니다.$f$ 분석적입니다.
Hemant Kumar Pathak의 "Complex Analysis and Applications"책에는 분석적 연속성에 대한 장이 있습니다.
Jose가 제안했듯이 다음과 같이 말하는 것은 의미가 없습니다. $f=F$ 의 위에 $\Omega_{2}$, 때문에 $f$ 에 $\Omega_{1}$.
이 책은 우리가 분석적 연속을 가지고 있다면 $f_{1}$ ...에서 $\Omega_{1}$ 으로 $\Omega_{2}$ 통하다 $\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, 다음의 집계 값 $f_{1}$ 에 $\Omega_{1}$ 과 $f_{2}$ 에 $\Omega_{2}$ 단일 기능으로 간주 될 수 있습니다. $f(z)$ 분석 $D_{1}\cup D_{2}$ 그런 $$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$
이것은 실제로 상황을 명확히합니다. 이것은 우리가 특이점을 제거하고 싶을 때했던 것과 같습니다.$f_{1}$ 제거 가능한 특이점이 있습니다. $z_{0}$, 우리는 실제로 $f_{1}$ ...에 $f$ 정의함으로써 $$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$
따라서 우리는 실제로 $f_{1}(z)$ ...에 $f(z)$,하지 $f_{2}(z)$. 우리는 일종의 완전$f_{1}(z)$ 으로 $\Omega_{2}$ 정의함으로써 $f(z)$.
내 설명이 복잡한 분석을 연구하고 분석적 연속을 혼란스럽게하는 다른 사람들에게 도움이되기를 바랍니다.
더 많은 것을 추가하십시오!
답변
그러한 정리는되어 있지 약들은 이러한 기능을 확장 가능성에 대해 아니라는 의미에서 분석 기능을 연장. 그들이 말하는 것은 분석 함수를 최대 한 가지 방법으로 확장 할 수 있다는 것입니다. 따라서 확장 기능의 고유성 에 대한 것이지 존재 에 대한 것이 아닙니다 .
더 정확하게 말하면 $\Omega_1$ 과 $\Omega_2$ 도메인입니다. $\Omega_1\subset\Omega_2$, 그리고 $f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$분석적 함수라면 기껏 해야 분석적 함수가 있습니다.$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$ 누구의 제한 $\Omega_1$ 이다 $f$. 그러나 아무것도 없을 수도 있습니다! 예를 들어,$\Omega_1=D(0,1)$, $\Omega_2=\Bbb C$ 과 $f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$ 에 의해 정의된다 $f(z)=\frac1{z-2}$.