찾기 $\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})$

Question

$$\lim\limits_{x\to -\infty} (e^{-x} \cos{x})=\lim\limits_{x\to -\infty} \left(\dfrac{\cos{x}}{e^x}\right)$$

거기에서 나는 $e^x$ 구혼 $0$ 동안 $\cos{x}$ 사이에 진동 $-1$ 과 $1$.

내 대답은 한계가 존재하지 않는다는 것 입니다. 이것을 설명하는 적절한 이유는 무엇입니까? 한계가 영원히 진동합니까, 접근합니까$\pm\infty$등?

Answer 1

예, 당신의 생각이 옳습니다. 엄격하게 그것을 보여주기 위해 $x_n= -2\pi n \to -\infty$ 같이 $n\to \infty$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=e^{-x_n}=\infty$$

그리고 $x_n= -\pi n$

$$e^{-x_n} \cos{x_n}=-e^{-x_n}=-\infty$$

따라서 한계가 존재하지 않습니다.

Answer 2

취하다 $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$, 어디 $k$ 정수이고 $k\rightarrow-\infty$.

우리는 그것을 본다 $e^{-x}\cos{x}=0.$

다른 한편으로는 $x=\pi k$ 과 $k\rightarrow-\infty$ 우리는 $|e^{-x}\cos{x}|\rightarrow+\infty$.

Id est, 한계가 존재하지 않습니다.

Answer 3

시퀀스에 비율 테스트 적용 $x=-2\pi n$.