차수가 25 인 두 유한 필드 사이의 동 형사상 생성.
문제의 필드는 \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2})입니다. \ end {equation *} 위의 필드가 동일한 순서의 유한 필드이므로 동형이 있다는 것을 알고 있습니다. 내 생각은 각 필드의 단위 그룹의 생성기를 찾고 한 생성기를 다른 생성기에 매핑하여 동형을 구성하는 것이 었습니다.
나는 그것을 발견했다 $x+2$ 생성 $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ 과 $1+\sqrt{2}$ 생성 $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ 그런 다음지도를 호출 $\varphi$, 나는 $x+2$ ...에 $1+\sqrt{2}$ 재배치 후 $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ 나는 또한 동형이 기본 필드를 고정한다는 것을 사용했습니다. $\mathbb{F}_5$. 문제는지도가\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} 만족스럽지 않다 $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ 모든 $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ 이것은 일반적인 접근 방식이 잘못 되었습니까?
답변
우리는 $\omega$, 원시 세 번째 통합 루트는 최소 다항식을 갖습니다. $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. 같이$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ 이것은 다음과 같은 동형을 제공합니다 $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} 하나, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ 과 $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$그래서 \ begin {equation *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {등식 *}