최고 $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

허락하다 $\varphi$황금 비율입니다. 최고 무엇입니까$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

제 생각은 함수의 순서를 고려할 수 있다는 것이 었습니다. $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ 피보나치 수 $F_n$, 수렴 $f(x)$. 순서$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ 만족하다 $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, 그래서 우리가 올바른 것을 선택하면 $a_n$, 다음 $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; 대신 정수로 문제를 변경합니다.$\varphi$,하지만 여기서 어디에서 진행해야할지 모르겠습니다.

Answer 1

분명히 최대 값은 $2$, 각각 $\sin$ 최대가 $1$.

첫 번째 기능의 최대 값은 다음과 같습니다. $\sin x = 1$ 또는 $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ 일부 정수 $k_1$, 그리고 마찬가지로 언제 $\sin (\phi x) = 1$ 또는 $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. 약간의 조작은 다음을 제공합니다.

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

때문에 $\phi$ 합리적이지 않습니다.이 방정식을 정확히 풀 수는 없습니다. $k_1$ 과 $k_2$. 그러나 다음을 선택하여 임의로 근사치로 근사 할 수 있습니다.$k_2$ 매우 큼 (예 : $10^{1000}$) 및 해결 $k_1$. 이런 식으로 당신은$f(x) = 2$ 원하는대로.