초기 하 함수의 몫 통합

Question

형식의 표현이 있다면 $$\int \frac{\, _2F_1(a,b;c;z)}{_2F_1(d,e;f;z)}dz,$$ 인수가 모두 복소수 인 경우이를 통합하여 다른 초기 하 함수 또는 다른 분석적 표현을 얻을 수 있습니까?

초기 하 함수를 계열 표현으로 확장하면이 표현을 통합 할 수있는 것이 간단 해 보이지만 결과 계열이 더 이상 수렴되지 않을 수 있습니다. Mathematica로이 적분을 평가하려고했을 때 결과가 나오지 않습니다. 그러면 새 시리즈가 수렴하지 않는다는 의미입니까? 아니면 시리즈를 분석 할 수있는 다른 방법이 있습니까?
특히 적분은 다음과 같습니다.$$\int \frac{\, _2F_1((3 + \alpha), (3 - \sqrt{\beta} + \alpha); 3 + \alpha; z)}{_2F_1( (1 + \alpha), (1 - \sqrt{\beta} + \alpha ); 1 + \alpha; z)}dz,$$ 어디 $\alpha$ 과 $\beta$상수입니다.
감사!

Answer 1

초기 하 함수 지수의 통합은 Mathematica와 같은 CAS를 사용하여 계산하거나 확인할 수 있습니다.

가우스 초기 하 함수는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle \, _2F_1(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty } \frac{z^k (a)_k (b)_k}{k! (c)_k},$

Pochhammer 기호는 다음과 같이 정의됩니다.

$\displaystyle x_{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k)$

${\displaystyle x_{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}$

이 질문에서 두 개의 초기 하 함수의 몫은 다음과 같습니다 (Mathematica로 확인).

$\displaystyle \frac{\, _2F_1\left(\alpha +3,\alpha -\sqrt{\beta }+3;\alpha +3;z\right)}{\, _2F_1\left(\alpha +1,\alpha -\sqrt{\beta }+1;\alpha +1;z\right)}=\frac{1}{(1-z)^2}$

따라서 적분은 다음과 같이 주어진다.

$ \displaystyle \int \frac{\, _2F_1\left(\alpha +3,\alpha -\sqrt{\beta }+3;\alpha +3;z\right)}{\, _2F_1\left(\alpha +1,\alpha -\sqrt{\beta }+1;\alpha +1;z\right)} \, dz=\int \frac{1}{(1-z)^2} \, dz=\frac{1}{1-z}+C$

임의의 숫자 $p$ 과 $q,$ 초기 하 함수의 몫의 적분은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \int \frac{\, _2F_1\left(p+\alpha ,p+\alpha -\sqrt{\beta };p+\alpha ;z\right)}{\, _2F_1\left(q+\alpha ,q+\alpha -\sqrt{\beta };q+\alpha ;z\right)} \, dz=\int (1-z)^{q-p} \, dz=\frac{(1-z)^{-p+q+1}}{p-q-1}+C$

Answer 2

두 분석 함수의 비율은 분모가 아닌 모든 도메인에서 분석됩니다. $0$. 또한 멱급수의 적분은 원래 멱급수와 동일한 수렴 반경을 갖습니다 (비율 테스트로 쉽게 확인할 수 있음).

예,이 적분은 분모의 0을 포함하지 않는 단순 연결 도메인에 존재하며 적분도 해당 도메인에 대해 분석됩니다. 그러나 다른 초기 하 함수가 아닐 가능성이 높습니다.