초과 계산 이해

Question

오버 카운팅을 조정하는 방법을 이해하려고합니다. 다음 예는 이해하기가 매우 어렵습니다. 즉, 모든 단어와 그 의미를 이해하지만 "확신"을 느끼지 못합니다.

보여주세요 :

$$\frac{(2 n) !}{2^{n} \cdot n !}=(2 n-1)(2 n-3) \cdots 3 \cdot 1$$

교과서에서 제공하는 직관적 인 설명 (이야기를 통해) :

\ begin {array} {l} \ text {양측이 파기 할 수있는 방법의 수를 세는 것을 보여줄 것입니다.} 2 n \\ \ text {사람들이} n \ text {파트너 관계를 맺을 수 있습니다. } 2 n \ text {사람을 데리고} 1 \ text {~} \\ 2 n \ text {의 ID 번호를 제공합니다. 사람들을 순서대로 정렬 한 다음} \\ \ text {처음 두 개는 한 쌍이고 다음 두 개는 한 쌍입니다 등을 말함으로써 파트너십을 형성 할 수 있습니다. n! \ cdot 2 ^ {n} \ text {쌍의 순서는 중요하지 않으며 각 쌍의 순서도 중요하지 않습니다.} \\ \ text {쌍. 또는} 2 n-1 \\ \ text {파트너에 대한 선택} 1, \ text {다음} 2 n-3 \ text {개인에 대한 선택} 2 \ text {(또는 사람} 3, \ text {if} \\ \ text {person} 2 \ text {이미 사람과 페어링되었습니다.} 1 \ text {) 등입니다. } \ end {배열}

누군가 나에게 설명 할 수 있습니까 1) 요인이 왜 $n! \cdot 2^n$ 2) RHS는 어떻게 파생됩니까?

Answer 1

첫 번째 부분은 ABCDEF라고 말하면 (AB) (CD) (EF) = (BA) (CD) (EF) 및 (AB) (CD) (EF) = (CD) (AB) ( EF), 거기에 $2^n$ 첫 번째 유형의 변형 및 $n!$ 두 번째 변형.

그런 다음 우리는 또한 $A$ 파트너가 될 수 있습니다 $BCDEF$, 미스터리 사람 $x$ 나머지와 파트너가 될 수 있습니다 $3$등.

과 $\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{8\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{6\cdot4\cdot2} = 5\cdot3\cdot1$.