Clifford 그룹은 유한합니까?

Question

모든 고정 $n$, 우리는 어떻게 증명합니까 $n$-큐 비트 클리포드 그룹 (하위 그룹 $ U(2^n) $Hadmard 게이트, 위상 편이 게이트 및 CNOT 게이트에 의해 생성됨)은 유한합니까? H 게이트와 S 게이트 만 관련된 단일 큐 비트 케이스의 경우이 두 게이트가 다음에 해당하기 때문에 유한 그룹입니다.$\pi$대칭을 나타내는 축을 따라 Bloch 구에서 회전. 멀티 큐 비트의 경우 유한 한 것으로 생각되지만 엄격하게 증명할 방법을 찾지 못했습니다.

또한 유한 한 경우 그룹의 요소 수를 함수로 표현하는 것은 무엇입니까? $n$?

Answer 1

때로는 현장의 Clifford 그룹에 대해 약간의 혼란이 있습니다 ... 그리고 그것은 정의의 문제입니다.

많은 사람들이 클리포드 그룹을 정의합니다 $\mathrm{Cl}_n(p)$ 의 $n$ 프라임 차원의 qudits $p$일반화 된 Pauli 그룹 (예 : Gottesman, Nielsen & Chuang)의 단일 정규화 프로그램으로 사용됩니다. 따라서 중심이 있기 때문에 분명히 유한 그룹이 아닙니다 .$U(1)$.

그러나 이것은 또한 수학적 관점과 물리적 관점 모두에서 잘못된 정의입니다. 왜? 첫째, 중심은 수학적으로 지루하고 그룹의 구조에 아무것도 추가하지 않기 때문에 두 번째는 단일성의 글로벌 단계가 비 물리적이기 때문입니다.

이 문제를 해결하는 세 가지 방법이 있습니다.

1. 생성기로 정의합니다 (고차원 생성기에 대한 Gottesman의 논문 참조). 그런 다음 모든 생성기에 대수 행렬 항목이 있으므로 유한하다는 것이 분명합니다. 표준 생성기를 사용하면 큐 비트 케이스에서 여전히 너무 큰 중심을 얻게됩니다.$\mathbb{Z}_8$. 최소한의 것은$\mathbb{Z}_4$ 큐 비트의 경우 $\mathbb{Z}_p$qudit의 경우. 재정의$H$ 게이트로 $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ 큐 비트의 중심을 최소화합니다.
2. 항목이있는 단일 그룹의 노멀 라이저로 정의 할 수 있습니다. $\mathbb{Q}[i]$(합리적인 복소수). 이것은 최소한의 중심을 가진 그룹을 제공 할 것입니다 (참고 1 참조).
3. 투영 그룹 정의 $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$, 또는 동등하게 인접 표현 아래의 이미지, 즉 클리포드와 관련된 단일 채널. 그 요소는 정류 관계를 보존하는 Pauli 연산자의 순열 (추가 된 단계 포함)으로 볼 수 있습니다. 있기 때문에$p^{2n}$ Pauli 연산자, 순열의 수는 유한합니다 (따라서 $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). 또한$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ 어디 $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ 단계까지 (일반화 된) Pauli 그룹이고 $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ 유한 장에 대한 심플 렉틱 그룹 $\mathbb{F}_p$. 카디널리티는$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ 따라서 투영 클리포드 그룹은 카디널리티를 갖습니다. $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$비투 영적인 것들은 중심의 순서로 곱해야합니다. 참조를 위해 예를 들어 Ref. 2

참고 문헌 :

1. Gabriele Nebe, EM Rains 및 NJA Sloane. "클리포드 그룹의 불변성"
2. D. Gross, "유한 차원 양자 시스템에 대한 허드슨의 정리"