Cuntz 대수의 Endomorphisms

Oct 30 2020

Cuntz 대수를 고려하십시오 $\mathcal{O}_n$ 와 $n \geq 2$ 그리고하자 $\text{End}(\mathcal{O}_n)$ 모두의 집합 (단일) $\ast$-내 이형 $\mathcal{O}_n$. 요소가 있는지 궁금합니다$x \in \mathcal{O}_n$ 평가 맵이 $\text{End}(\mathcal{O}_n) \rightarrow \mathcal{O_n},$ $\phi \mapsto \phi (x)$ 주사제입니다.

아니라면 가장 작은 것은 무엇입니까? $k \in \mathbb{N}$ 어떤 $x\in \mathcal{O}_n \otimes \mathbb{C}^k$ 지도가 $\text{End}(\mathcal{O}_n) \rightarrow \mathcal{O}_n \otimes \mathbb{C}^k$ 주어진 $\phi \mapsto (\phi \otimes \mathrm{id}) (x)$주사입니까? 그것은$k=n-1$?

답변

9 JamieGabe Oct 30 2020 at 23:15

이것은 사실입니다 : $\mathcal O_n$ 단일 생성, 즉 존재 $x\in \mathcal O_n$ 그런 $C^\ast(x) = \mathcal O_n$. 특히$\phi, \psi \colon \mathcal O_n \to B$ 아르 $\ast$-동형 $\phi(x) = \psi(x)$, 다음 $\phi = \psi$.

이것을 보여주는 매우 직접적인 방법이있을 수 있지만 여기에 대한 증거가 있습니다. $n\geq 2$ ($n\neq \infty$) : 논문 [C. Olsen 및 W. Zame, 단일 생성기가있는 일부 C *-대수, Trans. Amer. 수학. Soc. 215 (1976), 205–217],$A$ 단결하다 $C^\ast$-에 의해 생성 된 대수 $k(k+1)/2$ 그 요소 $k(k-1)/2$ 자기 인접, 그렇다면 $M_k(A)$ 단독으로 생성됩니다.

허락하다 $s_1,\dots, s_n \in \mathcal O_n$표준 생성자가 될 수 있습니다. 그때$M_n(\mathcal O_n) \to \mathcal O_n$ 주어진 $(a_{i,j})_{i,j=1}^n \mapsto \sum_{i,j=1}^n s_i a_{i,j} s_j^\ast$ 이다 $\ast$-동형. 특히,$M_{n^2}(\mathcal O_n)\cong \mathcal O_n$, 그래서 그것을 보여 주면 충분합니다 $M_{n^2}(\mathcal O_n)$ 단독으로 생성됩니다.

참고 $\mathcal O_n$ 에 의해 생성 $2n$ 자기 인접 요소, 즉 $s_j + s_j^\ast$ 과 $i(s_j - s_j^\ast)$ ...에 대한 $j=1,\dots, n$. 취득$A= \mathcal O_n$ 과 $k=n^2$ 위의 정리에서 (사용 $n^2(n^2-1)/2 \geq 2n$ ...에 대한 $n\geq 2$), 다음과 같습니다. $M_{n^2}(\mathcal O_n) \cong \mathcal O_n$ 단독으로 생성됩니다.

위의 정리는 건설적이므로 원하는 경우 명시적인 단일 생성자를 작성할 수 있습니다. $M_{n^2}(\mathcal O_n)$, 동 형사상 사용 $M_n(M_n(\mathcal O_n)) \cong M_n(\mathcal O_n) \cong \mathcal O_n$ 이 요소를 표현하기 위해 위에서 설명한 $\mathcal O_n$.

그것은 또한 사실입니다 $\mathcal O_\infty$,하지만 기초적인 증거가 부족합니다. 훨씬 더 깊은 기계를 사용할 수 있습니다.$\mathcal O_\infty$ 이다 $\mathcal Z$-안정적 (즉 $\mathcal O_\infty \otimes \mathcal Z \cong \mathcal O_\infty$ 어디 $\mathcal Z$장쑤 대수). 그런 다음 [Thiel, Hannes; Winter, Wilhelm Z- 안정 C *-대수에 대한 생성기 문제. Trans. Amer. 수학. Soc. 366 (2014), no. 5, 2327–2343], 분리 가능한 일체형$\mathcal Z$-안정된 $C^\ast$-대수는 단독으로 생성됩니다.

4 Ruy Oct 31 2020 at 06:19

OP가 염두에두고있는 것과 정확히는 아니지만, 다음과 같은 endomorphisms의 또 다른 흥미로운 특성이 있습니다. $\mathcal O_n$단일 요소 측면에서. 즉, endomorphisms 사이에 일대일 대응이 있습니다.$\mathcal O_n$ 및 단일 요소 $\mathcal O_n$ 다음과 같이 주어진다 :