다음 한도를 표시하는 방법

Question

허락하다 $f:\mathbb{N^*} \to \mathbb{N^*}$주입 기능. 보여줘$\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty}\frac{f(n)}{n^2}=+\infty$. 나는 시도했다 :

• 보여줘 $f(n) \ge n$ 모든 $n$, 그러나 나는 그것이 거짓임을 발견했다고 생각합니다. ($f(1)=2$ $f(2)=1$ 예)

• 허락하다 $(S_n)_n$ 그런 순서 $S_n= \frac{f(n)}{n^2}$, 그런 다음 Alembert 기준과 같은 기준을 사용했지만 작동하지 않았습니다.

도와주세요!

Answer 1

모든 $n \geq 1$, 허락하다 $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k^2}$$

당신은 그것을 가지고 $$S_{2n}-S_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{f(k)}{k^2} \geq \frac{1}{(2n)^2} \sum_{k=n+1}^{2n} f(k) \geq \frac{1}{4n^2}(1+2+...+n)=\frac{n(n+1)}{8n^2}\geq \frac{1}{8}$$

(의 정당화 $\sum_{k=n+1}^{2n} f(k) \geq 1+2+...+n$ : 합계는 $n$ 고유 한 정수-왜냐하면 $f$ 주입식-따라서 가장 작은 합보다 크거나 같습니다. $n$ 당신이 가질 수있는 고유 한 정수, 즉 $1+2+...+n$.)

그래서 $S_{2n}-S_n$ 경향이 없다 $0$, 그래서 $(S_n)$ 수렴하지 않습니다.

Answer 2

설명하다 $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{f(k)}{k^2}$. 첫 번째$n$ 값 $f(n)$주사 때문에 달라야합니다. 최소값$S_n$ 처음으로 얻을 때 $n$ 값 $f(n)$ 아르 $1,2,3\dots n$.

먼저 보여줍니다. $k,l$ 그런 $k<l\le n$:

$$\frac{k}{k^2}+\frac{l}{l^2}<\frac{l}{k^2}+\frac{k}{l^2}$$

이것은 다음과 동일하다는 것을 쉽게 보여줄 수 있기 때문에 분명합니다.

$$kl^2+lk^2<l^3+k^3$$

$$0<l^2(l-k)-k^2(l-k)$$

$$0<(l^2-k^2)(l-k)$$

... 사실 $l>k$. 최소값은$S_n$ 달성 될 때 $f(k)=k$ ...에 대한 $k=1,2,\dots,n$

이는 다음을 의미합니다.

$$S_n\ge S_{n_{min}}=\sum_{k=1}^n \frac{k}{k^2}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=H_n$$

...어디 $H_n$ 이다 $n$-차 고조파 수.

이는 다음을 의미합니다.

$$\lim_{n\to \infty}S_n\ge\lim_{n\to \infty}H_n=\infty$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^2}=\infty$$