델타 함수 ID 문제

Question

증명하고 싶다 $x\delta'(x)=-\delta(x)$. 내가 한 것은 0 주위의 오른쪽을 통합하는 것입니다 (양변이 같기 때문에$x \neq 0$ 사소하게) :

$$\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}x\delta'(x)dx=\left[x\delta(x)\right]_{-\varepsilon}^{\varepsilon}-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)dx=0-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)dx=-\int_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta(x)dx$$

이 통합에서 오른쪽과 왼쪽이 동일하다는 것을 알지만 0에서 값에 대해 어떻게 알려주나요? 적분은 "우리가 원하는만큼의 작은 간격"에서 0 근처에서 같을 수 없지만 원래 함수는 0에서 다른 값을 얻을 수 있습니까?

Answer 1

귀하의 질문에 답하려면 다음 사항에 답해야합니다. (일반화 된) 기능이있는 경우 $d(x)$, 그러면 어떻게 알 수 있습니까? $d(x)$델타 함수는 무엇입니까? 즉, 델타 함수의 정의는 무엇입니까?

한 가지 정의는 선별 속성에 해당하는 것입니다. $\delta(x)$ 독특한 기능입니다 $d(x)$ 어떤 $\int_{-\infty}^\infty f(x) d(x) = f(0)$ 모든 기능을 유지 $f$. 이 정의를 사용하여$d(x) = -x\delta'(x)$ 델타 함수이고, $$ \begin{align} \int_{-\infty}^\infty f(x)d(x)\,dx &= \int_{-\infty}^\infty f(x)(-x\delta'(x))\,dx \\ & = -\int_{-\infty}^\infty (xf(x))\delta'(x)\,dx \\ & = \int_{-\infty}^\infty (xf(x))'\delta(x)\,dx \\ & = \int_{-\infty}^\infty (xf'(x) + f(x))\delta(x)\,dx = 0\cdot f'(0) + f(0) = f(0). \end{align} $$ 그것은 다음과 같습니다 $d(x) = -x \delta'(x)$ 실제로 델타 함수와 같습니다.

위의 계산에서 "함수"의 정의 기능을 사용합니다. $\delta'$: 모든 기능 $f(x)$, $\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta'(x)dx = -f'(0)$.

Answer 2

@BenGrossman의 의견 및 답변에서와 같이 포인트 값에 대한 우려가 문제로 향하고 있지만 계산은 문제의 본질을 포착합니다.

그 문제에 대해 적분의 조작 (휴리스틱 또는 BenGrossman의 설명에서와 같이)이 이야기를 말해 주지만, 더 적은 기호로 유사하지만 / 그리고 절대적으로 엄격한 논거를 작성할 수도 있습니다. 테스트 함수를 위해 $f$, 테스트 함수에서 분포를 (연속, 선형) 함수로 부끄럽게 생각함으로써 : $$ (-x\delta')(f) \;=\; -\delta'(xf) \;=\; \delta((xf)') \;=\; \delta(f + xf') \;=\; f(0) + (xf')(0) \;=\; f(0)+0 \;=\; \delta(f) $$