에 대한 질문 $SK_1$ 반지의

Question

허락하다 $B$ 단결을 가진 교환 고리가되고 $B/nil(B):=B_{red}$, 어디 $nil(B)$ 의 nilradical입니다 $B$. 이다$SK_1(B)=SK_1(B_{red}) ?$ 특히 $B$ 대수적으로 닫힌 필드에 대한 유사 대수입니까?

Answer 1

예. 커널의 요소$SK_1(B)\rightarrow SK_1(B_{red})$ 행렬로 표시됩니다. $M\in GL_n(B)$ 일부 $n$. 쓰다$\overline{M}$ 감소를 위해 $M$ 모드 $nil(B)$. 그때$\overline{M}$ 기본 행렬의 곱으로, 모두 기본 행렬로 올라갑니다. $B$. 조정$M$ 따라서 우리는 $\overline{M}$ 정체성입니다.

대각선의 요소는 다음과 같습니다. $M$ 모두 $1$ 모드 $nil(B)$, 따라서 모든 단위 $B$. 이를 통해 기본 연산을 사용하여$M$ 따라서 (Whitehead의 기본형에 의해) 대각 행렬은 $SK_1(B)$.

(같은 주장이 $B_{red}$ 대체된다 $B/I$, 어디 $I$ Jacobson 급진파에 포함 된 이상입니다.)