얼마나 $3$-자리 숫자는 $21$?

Question

다음 질문이 있습니다.

얼마나 $3$-자리 숫자는 $21$?

세 자리 숫자의 경우 숫자 합계가 $21$ & 각 경우에서 만들 수있는 모든 가능한 숫자를 계산하고 결과를 얻기 위해 추가함으로써.

내 질문 : 이것을 계산하는 직접적인 조합 공식이 있습니까?

(나는 별과 막대 방법이 여기서 작동하지 않는다고 생각합니다)

Answer 1

$$a+b+c=21\implies(9-a)+(9-b)+(9-c)=6$$

별과 막대 적용 $x+y+z=6$ 얻기 위해 $\binom{8}{2}=28$ 솔루션.

Answer 2

다음은 생성 함수를 사용한 해입니다.이 문제에 대한 해는 다음의 계수와 같습니다. $x^{21}$ 확장에

$$(1 + x + x^2 + \cdots + x^9)^{2}(x + x^2 + x^3 + \cdots + x^{9}),$$

어떤 볼프람 알파 로 말한다$28$.