어때 $\mathbb R^n$ 몫의 그룹 $E(n)$ 으로 $SO(n)$ 어떠한 것도 $n$.

Question

저는 오늘 강연에서 교수님이 말씀하신 다음과 같은 정의에 갇혀 있습니다. 그는 유클리드 공간이$\mathbb R^n$ 다음과 같이 볼 수 있습니다. $\mathbb R^n=G/H$ 어디 $G$ 모든 강체 모션의 그룹입니다. $\mathbb R^n$ 과 $H=SO_n$ 어디 $SO_n$ 모든 직교 변환 집합을 나타냅니다.

나는 그가 어떻게이 진술을했는지 이해하지 못한다. 다음 정의를 알고 있습니다.

1. 모든 강체 모션 세트 $\mathbb R^n$ 변환, 회전 및 반사로 구성되며 유클리드 운동 그룹으로 알려진 그룹을 형성합니다. $E(n)$.
2. 유클리드 공간의 회전과 반사 만 고려하면 $\mathbb R^n$ 그런 다음 그들은 다음으로 표시된 직교 변환으로 알려진 그룹을 형성합니다. $O(n)$. 그러나 회전 만 고려하면 그룹은 다음과 같이 표시됩니다.$SO(n)$.

내 질문은 다음과 같습니다.

제 교수님이 $E(n)$ 으로 $G$

우리는 그것을 어떻게 압니까 $\mathbb R^n=G/H$? 나는 머리를 긁적이며 이와 같은 다양한 기사를 검색하고 있습니다.https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S092465090870062X그러나 나는이 부분을 부술 수 없습니다. 누군가가 방법에 대한 단계별 설명을 해주시겠습니까?$\mathbb R^n$ 몫 그룹으로 볼 수 있습니다 $E(n)$ 으로 $SO(n)$ 어떠한 것도 $n$.

Answer 1

내 의견에서 말했듯이 정확한 정리는 다음과 같습니다.

$$ \frac{E(n)}{O_n} \cong \mathbb{R}^n$$

요점은 $O_n$원점을 고정하는 모든 강체 동작의 집합입니다 . 나는 이것이 명백하다고 가정 할 것이다.

$E(n) / O_n$그룹 의 coset 집합 입니다.$O_n$ 에 $E(n)$, 즉 요소 $eO_n$ ...에 대한 $e \in E(n)$, 작업 $(e O_n)(fO_n) = (ef)O_n$. 이 작업을 잘 정의하려면$ef^{-1}\in O_n$, 다음 $eO_n = fO_n$.

그러니 $e$딱딱한 움직임이됩니다. 변화를 고려하십시오$e': x \to e(x) - e(0)$. 분명히,$e'(0) = 0$. 이후$e'$강체 운동의 구성이며 강체 운동이기도합니다. "분명한 사실"에 의해$e'=e$ 경우에만 $e \in O_n$. 결과로서,$eO_n = e(0)O_n$ 모든 $e$ (어디서 $e(0)$ 여기는 번역을 의미합니다 $x \to x + e(0)$). 그러한 그룹$e(0)$ 분명히 $(\mathbb{R}^n, +)$.

Answer 2

나는 그것이 아마 있어야한다는 의견에 동의합니다. $\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)$. $\operatorname{SO}(n)$ 어떤 지점의 안정제가 아닙니다. $\mathbb R^n$, 그래서 우리는 bijection을 찾을 수 없습니다 $\mathbb R^n$그룹 활동을 통해. 또한 정상적인 하위 그룹이 아닙니다.$\operatorname{E}(n)$따라서 요인 그룹을 통해 문제를 처리 할 수도 없습니다. 그러나 상황은 다르게 보입니다.$\operatorname{O}(n)$. 두 가지 접근 방식이 있습니다.

먼저 동형을 고려하십시오.

$$\varphi:\operatorname{E}(n)\to\mathbb R^n,~f\mapsto f(0),$$

어디 $\mathbb R^n$덧셈 그룹입니다. 커널은 분명히$\operatorname{O}(n)$, 그리고 그것은 또한 surjective이므로 첫 번째 동형 이론은 다음과 같이 말합니다. $\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)\cong\mathbb R^n$ 그룹으로.

둘째, $\operatorname{O}(n)$ 표준 그룹 조치에 따라 원점의 안정제입니다. $\mathbb R^n$, 원점의 궤도는 모두 $\mathbb R^n$, 그래서 우리는 자연스러운 bijection $\operatorname{E}(n)/\operatorname{O}(n)\to\mathbb R^n$.

Answer 3

당신이 쓴 것을 바탕으로 표기법의 문제라고 생각합니다. 너는 ~라고 말한다$\mathrm{SO}(n)$모든 직교 변환 그룹을 나타냅니다. 직교 변환 그룹의 일반적인 표기법은 다음과 같습니다.$\mathrm{O}(n)$, 양의 행렬식 이있는 직교 변환 그룹은 다음과 같이 표시됩니다.$\mathrm{SO}(n)$ (그것은 아이덴티티의 연결된 구성 요소입니다 $\mathrm{O}(n)$, 해당 요소를 적절한 회전 이라고도 합니다 .)

우리가 회전과 반사를 고려한다면 $\mathbb R^n$ 그들은 그룹을 형성 $\mathrm{O}(n)$, 회전 만 고려하면 $\mathrm{SO}(n)$. 실제로 모든 직교 변환은 반사의 산물로 표현 될 수 있습니다 . Cartan-Dieudonné 정리를 참조하십시오 .

지금 $E(n)$ 행동하다 $\mathbb R^n$ 전 이적으로, 원점을 고정하는 하위 그룹은 직교 그룹입니다 $\mathrm{O}(n)$(원점에 대한 반사 및 회전, 사소하지 않은 변환은 원점을 다른 곳으로 분명히 이동시킵니다). 그러므로$\mathbb R^n$ 독특하고 부드러운 구조를 가지고있어 $E(n)/\mathrm{O}(n)$, 여기를 참조 하십시오 .