fermionic field 이론이란 무엇입니까?
허락하다 $\mathscr{H}$ 힐베르트 공간이고 $\mathscr{H}^{n}$ 관련이있다 $n$-이 힐베르트 공간의 텐서 곱. 다음에 나오는 수학적 세부 사항은 건너 뛰 겠지만 제 접근 방식은 Reed & Simon의 책을 따릅니다 . 연산자를 정의 할 수 있습니다.$A_{n}$에 직교 투영 인 비대칭 연산자라고합니다. $\mathscr{H}^{n}$ 반대 칭 부분 공간에 $A_{n}\mathscr{H}^{n}$. 수학적으로 우리는 일반적으로 fermionic Fock 공간 이라고 불리는 것을 정의 할 수 있습니다. $\mathcal{F}_\text{fer}$ 으로: $$\mathcal{F}_\text{fer} := \bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}\mathscr{H}^{n}$$ 어디 $A_{0}\mathscr{H}^{0} := \mathbb{C}$ 과 $A_{1}\mathscr{H}^{1} := \mathscr{H}$. 계속해서 연산자를 정의 할 수 있습니다.$\mathcal{F}_\text{fer}$, 해밀턴, 창조 및 소멸 연산자 등과 같은. 이를 수행하는 절차는 기본적으로 다음과 같습니다. 주어진 연산자가 있습니다.$T$ 의 위에 $\mathscr{H}$ 그리고 우리는 그것을 확장합니다 $\mathscr{H}^{n}$라는 방법을 사용하여 제 양자화 다음과 정의$T$ 의 위에 $\mathcal{F}_\text{per}$ 각 '구성 요소'에 대해 작동하도록하여 $A_{n}\mathscr{H}^{n}$.
위의 시나리오는 매우 일반적이며 기본적으로 수학입니다. 그러나 'fermionic'이라는 이름은 항상 내 관심을 끌었습니다. 나는 이것이 어떤 의미에서 많은 페르미온 시스템의 수학적 공식화라고 확신했고 이것은 이름을 정당화 할 것입니다. 그러나 시간이 지남에 따라 위의 형식주의로 설명되는 것처럼 보이는 매우 다른 모델을 발견했습니다. 몇 가지 비공식적 인 예를 들어 보겠습니다
(1) 우리는$\mathscr{H} = L^{2}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{C})$ 정의 된 복소수 제곱 적분 함수의 공간 $\mathbb{R}^{d}$.
(2) 우리가 이산화 된 공간에 있다면, 우리는$\mathbb{R}^{d}$ 일부 유한 집합에 의한 위의 예에서 $\Lambda$. 이 유한 집합은 유한 격자 또는 유한 격자와 일부 유한 '스핀'집합의 데카르트 곱일 수도 있습니다.
(3) 우리가 Dirac 필드에 대해 생각하고 있다면 적절한 Hilbert$\mathscr{H}$ 이다 $\mathbb{C}^{2}$, 선을 회전하는 계정 ${1}\choose{0}$ 과 ${0}\choose{1}$.
이 세 가지 예 (및 아마도 다른 예)는 'fermionic system'또는 'fermionic field theory'라는 동일한 이름으로 많은 다른 책에서 발견됩니다.
질문 : 이 모든 세 가지 예는 하나의 물리적 시스템의 단지 다른 실현 경우 나도 몰라,하지만 난 그게이라고 생각 하지 . 그래서, fermionic field 이론에 따르면 일반적으로 fermionic Fock 공간을 생각합니다.$\mathcal{F}_\text{fer}$ 두 번째 양자화 된 Hamiltonian과 함께 $H$이 Fock 공간에 작용하기 때문에 실제로 하나가 아니라 페르미온 장 이론에 대한 많은 다른 실현이 있습니다. 정확합니까?
답변
fermionic field 이론은 Hilbert 공간이 특징이 아닙니다. 필드 연산자 간의 대수적 관계가 특징입니다.
fermionic field 이론은 관측 값이 필드 운영자로부터 구성되는 이론입니다. $\psi_n(x)$ 등 시간 반 정류 관계를 만족하는 \begin{align} \{\psi_n(x,t),\psi_m(y,t)\} &= 0 \\ \{\psi_n(x,t),\psi_m^\dagger(y,t)\} &= 0\text{ if }x\neq y\text{ or }n\neq m, \end{align} 어디 $\{A,B\}\equiv AB+BA$. Pauli 배제 원칙은 이것의 결과입니다. 질문에 설명 된 다양한 구성은 Hilbert 공간에서 이러한 연산자를 나타내는 다른 방법으로 사용할 수 있습니다.
내 대답 https://physics.stackexchange.com/a/582216표현에 대한 일반적인 설명을 제공합니다. 중심 메시지는 힐베르트 공간 자체가 이론에 대해 거의 알려주지 않는다는 것입니다. 관찰 가능 항목의 패턴이 중요합니다. 힐베르트 공간을 표현하는 다른 방법은 관찰 가능 패턴에 따라 다소 편리 할 수 있지만 관찰 가능 항목이 중요합니다.
예, 많은 다른 fermionic field 이론이 있습니다. 해밀턴$H$그 자체만으로도 일부를 구별하기에 충분할 수 있지만 Hamiltonian은 하나의 연산자 일뿐입니다. Hamiltonian과 다른 Observable 사이의 관계는 더 분별력이 있으며 이러한 관계는 우리가 표현할 때마다 암시됩니다.$H$다른 관찰 가능 항목도 필드 연산자로 표현되기 때문입니다. Observable은 공간과 같은 분리 (인과성 원칙 중 하나)에서 서로 통신해야하므로 Observable은 반드시 짝수의 반 통근 필드 연산자의 곱을 포함해야합니다.
그런데 가끔씩 나는 스핀이 홀수 배 인 무언가의 동의어로 사용되는 "fermion"이라는 이름을 봅니다. $\hbar/2$. 상대 론적 양자 장 이론에서 스핀-통계 연결은이 언어를 정당화합니다. 그러나 더 일반적으로, 그 연결은 유지되지 않습니다 : 페르미온 (필드 오퍼레이터가 반 통근하는 것)이 반드시 그러한 스핀을 가지고 있지는 않습니다.