Feynman Path Integral의 문제 이해
우리가 유클리드에 살고 있다고 가정합시다 $\mathbb{R}^d$ 정규화 파티션 함수를 고려하십시오.
\ begin {equation} \begin{aligned} Z : D &\to \mathbb{R} \\ J &\mapsto \frac{\int \exp \left[ -S \left( \psi \right) + \left \langle J, \psi \right \rangle\right] \mathcal{D} \psi}{\int \exp \left[ -S \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \psi} \end{aligned} \ end {등식}
어디 $D$ 테스트 기능의 공간으로 간주됩니다. $\mathbb{R}^d$, $\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle$ 표준입니다 $L^2$ 내부 제품 및 $S : D \to \mathbb{R}$ 적절한 고전적 행동을 나타냅니다.
위의 표현을 이해하기위한 순진한 아이디어는 다음과 같습니다.
- (M1) 수학적 관점에서 무한 차원 벡터 공간에 대한 Lebesgue와 같은 측정은 없습니다. 그러나 Wiener 측정 값에 대한 나의 (완전히 불충분 한) 이해에서 완벽하게 훌륭한 Gaußian 측정 값이 있습니다.$\mu$ (보다 큰 공간에서 $D$) 대부분의 관련 사례에서 $\exp \left[ - S \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \psi := \exp \left[ - S_{\mathrm{int}} \left( \psi \right) \right] \mathcal{D} \mu\left( \psi \right)$ 이제 오른쪽이 잘 정의되어 있습니다.
- (M2) 힐베르트 공간 완성을 고려할 수 있습니다. $H$ 의 $D$ 일부 내적과 관련하여 위의 몫을 유한 차원 고갈에 대한 적분의 한계로 정의하십시오. $H$ 바람직하게는 $D$.
그러나 어떻게 든 그러한 적분은 수학적으로 잘못 정의 된 것으로 널리 간주됩니다. 잘못되는 것이 정확히 무엇입니까? 내 아이디어는 다음과 같습니다.
- (P1) 삽입하는 고유 한 방법이 없습니다. $D$ Wiener 측정 값이 정의 될 수있는 더 큰 공간으로
- (P2) 위 식의 분자 / 분모는 Wiener 측정 값에 대해 Lebesgue 적분으로 간주 할 때 무한대이며 몫을 사용하려면 고유하지 않은 한계 선택이 필요합니다.
- (P3) 유한 차원 적분에 의한 근사는 소진 부분 공간의 선택에 따라 다릅니다.
- (P4) 유한 차원 적분에 의한 근사는 내부 곱의 선택에 따라 다릅니다. $D$
- (P5) 정의의 몫 $Z$ 소진되는 부분 공간의 한계가 어떻게 취해 지는지에 따라 달라집니다. $\lim_{n \to \infty} \int_{-n}^n \sin \left( n \pi x \right) \mathrm{d} x \neq \lim_{n \to \infty} \int_{-2n}^{2n + 1} \sin \left( n \pi x \right) \mathrm{d} x$.
답변
나는 적분을 이해하기 위해 제안 된 두 가지 방법에 대해 (M1), (M2) 레이블을 붙이고 발생할 수있는 문제 목록에 대해 (P1)-(P5)를 자유롭게 표시했습니다. 이를 통해 질문의 특정 항목을 참조 할 수 있습니다.
하나가 교체되면 $J$ 으로 $iJ$ 와 $J$ 실제 가치 다음 기능 $Z$엄격하게 정의하고 싶은 확률 측정의 특징적인 기능입니다 (Lebesgue 통합 이론의 완전히 표준 프레임 워크 내에서). 가장 편리한 공간$D$ 테스트 기능 용 $J$ Schwartz 공간입니다 $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$. 이 경우 원하는 확률 측정 값이 존재하는 공간은 이중 공간입니다.$\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ 온대 Schwartz 분포의.
(M1) 정보 : 작동하지 않습니다. 또한 "Wiener measure"라는 잘못된 (오류가 발생하기 쉬운) 용어를 사용하지 마십시오. 후자는 약$d=1$ 어디 측정 $\mu$ 연속 함수 공간에서 지원되며 Radon-Nikodym 가중치를 곱하면 $\exp(-S_{\rm int}(\psi))$적어도 유한 한 볼륨에서는 말이됩니다. 에 대한$d\ge 2$, 측정 $\mu$, 확률 분포에 대한 확률 법칙으로 간주 $\psi$, 확률 1로 수량 $S_{\rm int}(\psi)$ 예를 들어 다음과 같은 용어가 포함되어 있기 때문에 의미가 없습니다. $\psi(x)^4$. 따라서 이런 의미에서 (M1)은 문제에 대한 해결책이 아닙니다. 그러나 푸리에 컷오프를 도입하고 수정하여이 시도를 수정할 수 있습니다.$\mu$. 이것은 (M2)와 유사한 상황을 제공합니다.$\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$ 컷오프 (빈도 및 볼륨)에 의해 색인화되고 질문은 다음과 같습니다.이 시퀀스가 확률 측정 공간에서 적절한 토폴로지로 수렴합니까? $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^d)$. 여기서 가장 자연스러운 토폴로지는 pointwise에 해당하는 약한 수렴입니다.$J$) 해당 기능의 수렴 $Z$. (유한 적으로 많은 격자 점을 사용하여) 근사 시퀀스의 수렴에 대한 동일한 질문은 방법 (M2)으로 해결해야 할 주요 질문입니다.
방대한 자유 장, 즉 측정 값을 구성하는 경우에도 (M2)를 자세히 수행하는 것이 좋습니다. $\mu$. 이것은 두 개의 MathOverflow 게시물에서 수행됩니다.
https://mathoverflow.net/questions/362040/reformulation-construction-of-thermodynamic-limit-for-gff?rq=1
https://mathoverflow.net/questions/364470/a-set-of-questions-on-continuous-gaussian-free-fields-gff
무엇이 잘못 될 수 있는지 : 이제 발생할 수있는 문제를 고려하고 (P1)-(P5)에 대해 논의하겠습니다. 후자를 잠재적 인 문제의 목록으로 제안하는 것은 사실상 말 앞에 카트를 두는 것과 같습니다. 왜냐하면 이것은 방법 (M1) 또는 (M2)의 한계 또는 일부 결과가 문제가되지 않는다고 암묵적으로 가정하기 때문입니다. 이 결과의 고유성에 대한 걱정입니다. 발생할 수있는 주요 문제는 하위 시퀀스 (단단함 손실 또는 질량이 무한대로 탈출 할 확률)로 제한하더라도 제한이 없을 수 있다는 것입니다. 다른 문제는 획득 한 한계가 가우시안, 즉 흥미롭지 않을 수 있다는 것입니다. 보다
https://mathoverflow.net/questions/260854/a-roadmap-to-hairers-theory-for-taming-infinities/260941#260941
이것에 대한 더 많은 것을 위해 그러나 긴 이야기를 짧게 만들기 위해, 흥미로운 한계를 얻기 위해 커플 링이 컷오프에 의존하도록 허용함으로써 자신에게 더 많은 유연성을 제공해야합니다. 이를 수행하는 방법은 재 정규화 그룹 분석에 달려 있습니다. 보다
재 정규화 가능성에 대한 Wilsonian 정의는 무엇입니까?
마지막으로, 한계가 존재할 때, 즉 근사 시퀀스를 설정할 때 임의의 선택과 무관하게 고유 할 것으로 예상했지만 엄격하게 설정 한 결과는 거의 없습니다. 에 대한$\phi_3^4$ Gubinelli와 Hofmanová의 기사에 최근 구성이 있습니다. https://arxiv.org/abs/1810.01700