그룹 고려 $\mathbb{Z}_{20}$

Question

그룹 고려 $\mathbb{Z}_{20}$ 그리고하자 $H = \langle [4]\rangle $ 에 의해 생성 된 하위 그룹 $4$. 모든 요소 나열$\mathbb{Z}_{20}/H$ 몫이 순환적임을 보여줍니다.

나는 여기서 용어에 대한 이해가 부족하다고 생각합니다. 알아$\mathbb{Z}_{20}/H$ 왼쪽 코셋을 나타냅니다. $H$, 하지만 이후 $H = \langle [4]\rangle$ 에 의해 생성 된 하위 그룹입니다. $4$, 이것은 정확히 무엇을 의미합니까?

몫도 순환적임을 보여주는 방법을 이해합니다. 여기 내 시도가 있습니다.

요소가있는 경우 $a \in G$ 그런 $\langle a\rangle = G$, 우리는 G가 순환 그룹이라고 말합니다. 하지만 여기서 꼭 필요한 것은 아닙니다. 이 질문의 첫 번째 부분에서 순서가 소수이면 지연 정리 또는 오히려 내 책의 정리에 의해 우리는$\mathbb{Z}_{20}/H$ 주기적이고 우리는 끝났습니다.

Answer 1

순환 그룹의 모든 동형 이미지는 순환입니다. 따라서 정규 투영을 고려하여 몫이 순환적임을 알 수 있습니다.

몫의 요소는 다음 요소의 등가 클래스입니다. $\Bbb Z_{20}$ 배수로 다른 $4$.

5 개의 요소가 있기 때문에 $\langle 4\rangle$, 몫에는 순서가 있습니다. $4$.

Answer 2

여러 가지 방법으로 몫을 이해할 수 있습니다. 가장 기하학적 인 것 (일반 그룹의 경우)은 Cayley Graph에서 해당 그룹의 축소와 같지만 더 대수적인 측면으로 돌아갑니다. $[4]$ 즉, 왼쪽 코셋이 오른쪽 코셋과 동일하므로 일반 하위 그룹이라고합니다. $G/H$단지 cosets 의 집합 입니다$H$. 하위 그룹의 코셋$H$ 에 의해 정의 된 등가 클래스입니다. $a \sim b \equiv aH = \{ ah | h \in H\} = bH$. 이 하위 그룹으로 몫을 계산할 때 모든 코셋 세트를 가져와 천연 제품을 제공합니다.$gHfH = gfH$그룹으로 만들기 위해. 이제 직관적으로 하위 그룹을 "번역"하거나 그룹에서 이동할 수있는 방법으로 그룹을 나누고 싶습니다. 여기에서 요소의 방법을 알고 싶습니다.$\mathbb{Z}_{20}$ 곱셈에서 행동하다 $4$. 그러나 모두를 위해$g \in \mathbb{Z}_{20}$ 당신은 분명히 가지고 $(g + 4)H = gH$ 따라서 내부에서 "모듈로 4"를 수행하고 있습니다. $\mathbb{Z}_{20}$, 그건 $\mathbb{Z}_{20}/H$ 요소 집합입니다. $\mathbb{Z}_{20}$ 곱할 때 다른 하위 그룹을 생성하는 $[4]$. 전례 발언으로 그들이 무엇인지 잘 알고 있어야합니다. 이제 그것이 순환임을 보여주기 위해 당신이 무엇을 추론하면 쉽게 될 순환 하위 그룹에 다시 동형임을 증명해야합니다.$\mathbb{Z}_{20}/H$ 이다.

Answer 3

한 가지 방법은 단순히 요소를 나열하고 처음부터 수행하는 것입니다.

$\mathbb Z_{20}=\{[0]=(0,20,\cdots),\ [1]=(1,21,\cdots),\cdots, [18]=(18,38,\cdots \ ),\ [19]=(19,39,\cdots \ )\}.$

과 $[4]=(4,24,\cdots).$ 지금, $\mathbb Z$ Abelian이므로 그룹 작업은 코셋 추가입니다.

그런 다음 $[4]+[4]+[4]+[4]+[4]=[0]$ 그래서 $\langle [4]\rangle$ 질서의 순환 $5$.