길이 찾기 $DE$
허락하다 $ABC$ 삼각형이되다 $AB<AC$. 허락하다$D$ 편에있다 $AC$ 그런 $AD=AB$. 허락하다$I$ 삼각형의 중심이된다 $ABC$ 과 $E$ 수직 이등분선의 교차점 $ID$ 과 $BC$. 그런 다음 찾기$DE$ 측면에서 $AB$, $AC$ 과 $BC$.
원래 질문에서 몇 가지 길이가 주어졌습니다 ($AB=5$, $AC=8$ 과 $BC=7$). 그래서 계산이 훨씬 쉬워졌습니다. 나는 우아한 솔루션을 얻을 수 없었기 때문에 무차별 대입 방법으로 솔루션을 얻기 위해 좌표 기하학을 사용해야했습니다. 제가 관찰 한 흥미로운 점은$AI$, 수직 이등분 $BC$ 및 수직 이등분 $ID$ circumcircle에서 만났다 $\triangle ABC$. 나는 이유를 안다$AI$ 및 수직 이등분 $BC$ circumcircle에서 만나지 만 왜 수직 이등분선이 $ID$거기에서도 만날 것입니다. 누구든지 증거를 제공 할 수 있습니까?
주요 질문으로 돌아갑니다. 내가 설정$B=(0,0)$ 과 $C=(7,0)$ 별 어려움없이 좌표를 찾았습니다 $A=\left(\frac{5}{7}, \frac{20 \sqrt{3} }{7} \right)$ 과 $I=(2, \sqrt{3})$ 과 $D=\left( \frac{65}{14} ,\frac{15\sqrt{3}}{14}\right)$. 수직 이등분 방정식$BC$ 이다 $x=3.5$ 및 수직 이등분 방정식 $ID$ 이다 $y-\frac{29\sqrt{3}}{28}=\frac{-37}{\sqrt{3}} \left(x-\frac{93}{28}\right)$. 그들의 교차점이 포인트$E= \left(\frac{7}{2}, \frac{-7\sqrt{3}}{6}\right)$. 따라서 길이$DE$ 이다 $\frac{7\sqrt{3}}{3}$.
이미 보시다시피이 방법은 매우 번거롭고 실수하기 쉽습니다 (내 대답이 올바른지조차 모릅니다). 이 질문에 대한 기하학적 해결책을 정말 좋아할 것입니다. 저는 기본 기하학과 삼각법 만 알고 있으므로이를 기반으로 솔루션을 요청합니다. (또한 그들이 공 선상에있는 이유를 명확히하십시오). 모든 해결책을 주시면 감사하겠습니다. 계산과 쓰기를 쉽게하기 위해 주어진 길이를 자유롭게 사용하십시오.
참고를위한 도표 :
답변
삼각형의 각도를 다음과 같이 표시하겠습니다. $A,B,C$ 이 각도에 반대되는 삼각형의 변은 각각 $a,b,c$.
사실 1 : 이후$\triangle ABD$ 각 이등변이있는 이등변 $AI$, $AI$ 의 수직 이등분 $BD$.
사실 2 : $$\begin{aligned}\angle BIC&=180^\circ-\angle IBC-\angle ICB=180^\circ-\dfrac{B}2-\dfrac{C}2\\&=180^\circ-\left(\dfrac{B+C}2\right)=180^\circ-\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2 \end{aligned}$$
사실 3 : 그것을 사용$\triangle ABD$ 이등변, 우리는 $\angle ABD=\angle ADB= \dfrac{180^\circ-A}2$ $$\begin{aligned} \angle BDC= A+\angle ABD=A+\left(\dfrac{180^\circ-A}2\right)=90^\circ+\dfrac{A}2\end{aligned}$$
에서 사실 2,3 , 우리는이$\angle BIC=\angle BDC$, 그래서 우리가 circumcircle을 그리면 $\triangle BDC$,이 두 개의 동일한 각도는 해당 원의 동일한 세그먼트에있는 각도 이므로$B,I,D,C$concyclic입니다. 이것은$\underline{\text{$\ triangle BID$ and $\ 삼각형 BDC$ have the same circumcircle}}$.
결과적으로 $\texttt{PB,CC}$ 각각 수직 이등분선과 외접원으로 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC \ (\text{by definition of }\texttt{CC})\\ (\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)= \texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC \ (\text{by definition of }\texttt{CC}) $$ 하지만 밑줄이 그어진 사실은 $$\texttt{CC} \text{ of } \triangle BDC=\texttt{CC} \text{ of } \triangle BIC$$ 그래서 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=(\texttt{PB} \text{ of } BD) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)$$그리고 사실 1 $$(\texttt{PB} \text{ of } ID) \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=AI \cap (\texttt{PB} \text{ of } BC)=E$$ 두 번째 평등은 이미 알고있는 언급 한 것입니다.
그러므로 $E$ circumcircle의 중심 $\triangle BIC,\triangle BDC$ 와 $EC,EI,ED$ 반경으로 $R_1$원의. 찾을 수 있습니다$|DE|=R_1$ 사인 규칙 사용 $\triangle BDC$ 같이
$$\begin{aligned} DE=IE=R_1=\dfrac{BC}{2\sin(\angle BDC)}&=\dfrac{BC}{2\sin\left(90^\circ+\dfrac{A}2\right)}\\&=\dfrac{a}{2\cos\left(\dfrac{A}2\right)}\end{aligned}$$ 그런 다음 $\cos(A/2)=\sqrt{\dfrac{1+\cos^2A}2}$ 와 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 코사인 규칙에서.
우리는 그것을 볼 수 있습니다 $ID=IB$. 또한 우리는 :
$\angle BEA=\angle ACB$
$\angle BAE=\angle EAC$
결과 :
$\triangle ABE=\triangle AEC $
따라서:
$BE=DE$
이제 C를 I에 연결합니다. CI는 각도 ACB의 이등분선입니다. ID의 E에서 수직의 교차점을 F로 표시합니다.이 수직은 각도 IED의 이등분선이기도합니다. 우리는 :
$\angle IEF=\frac{\angle BEI}{2}=\frac{\angle ACB}{2}$
결과 :
$\angle BCI=\angle IEF$
우리는 또한 $EC=ED$. 이것은 점 B, I, D 및 C가 E에서 원 중심의 원주에 있음을 의미합니다. 이제 삼각형 IBC를 고려하면 DE는 실제로이 원의 반지름이므로 다음 공식을 사용하여 측정 값을 계산합니다.
$DE=R=\frac{BI\times IC\times BC }{2S}$
여기서 S는이 삼각형의 면적입니다. 이제 우리에게 필요한 것은 BI, IC의 측정 값을 찾는 것입니다. 이것들을 가지고 우리는 Harum의 공식을 사용하여 S를 찾고 R을 찾을 수 있습니다.