공리는 이중을 의미합니까?

Question

투영면에 대해 다음과 같은 공리가 있다고 가정합니다.

공리 : 투 영성이 선에있는 세 개의 개별 점 각각에 불변을 남기면 선의 모든 점에 불변을 남깁니다.

이 공리 의 이중 은 다음 진술입니다.

이중 : 투 영성이 한 지점에서 동시에 발생하는 세 개의 개별 선 각각을 불변으로 남겨두면 해당 지점을 통과하는 모든 선이 불변으로 남습니다.

이제 Axiom이 $\Rightarrow$ 이중 .

증명에 대한 나의 잘못된 시도 : 세 줄을 보자$a,b,c$, 동시 $O$ 투영성에 의해 변하지 않는 선 $l$ 다른 노선이있다 $O$. 세 가지 점을 증명할 수 있다면$l$ 이 투사성에 의해 불변하게 남게된다면 $l$ 투영성에 의해 불변하게 남습니다. $l$ 그 자체는 변하지 않고, 우리는 끝날 것입니다. $O$.

이제 우리는 $O$투영성에 의해 변하지 않습니다. 다른 점에 대해서는$P$, 의 위에 $l$, 통과하는 선을 보자 $P$ 이외의 $l$, 교차 $a, b$ 과 $c$ 지점에서 $A,B$ 과 $C$, 각각. 이제$A,B,C$ 투사성에 의해 불변으로 남아 있습니다. $P$, 선상의 점 $AB$, 또한 변하지 않습니다. 이후$P$ 임의의 지점입니다 $l$, 이것은 모든 포인트에 해당됩니다. $l$ 그리고 우리는 끝났습니다.

그러나 라인$a,b,c$ 변하지 않는다고해서 $A,B,C$투사율에 의해 변하지 않을 것입니다 . 그것이 내가 갇힌 곳입니다.

저를 올바른 방향으로 안내하기 위해 통찰력을 공유하십시오.

Answer 1

투영도는 점과 선의 교대 순서와 이들이 나타내는 원근의 순서로 생각할 수 있습니다. 간단한 예를 들어,$(\ell_1,P_2,\ell_3)$ 선 사이의 원근을 나타냅니다 $\ell_1$ 과 $\ell_3$ 센터 $P_2$. 그리고 ($P_2,\ell_3,P_4$)는 축이있는 투시도입니다. $\ell_3$ 연필 사이 $P_2$ 과 $P_4$. ($\ell_1,P_2,\ell_3,P_4,\ell_5$)는 투영법입니다. $\ell_1\rightarrow\ell_5$ 그것은 두 가지 관점의 구성입니다 $\ell_1\rightarrow\ell_3\rightarrow\ell_5.$

허락하다 $(P_1,\ell_2,\dots,P_1)$ 연필에 세 줄을 남기는 투영 력 $P_1$불변하지만 전체 연필은 아닙니다. 그런 다음 고려$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$. 이것은 이미 요청한 넛지보다 많을 수 있지만 마지막 단계는 스포일러로 남겨 둘 것입니다.

$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$ 공리를 위반하는 투사 성입니다.