귀납법으로 증명을 향상시켜주세요!
나는 이것을 더 명확하게 할 내 작업을 첨부하고 있지만 이것의 핵심은 내가 처음 n 제곱의 합이 다음과 같다는 것을 귀납법으로 증명했다는 것입니다. $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
문제는 제가 기본 케이스를 증명함으로써 $n = 1$, 임의의 경우 true라고 가정합니다. $n \leq k$ 그런 다음 사실을 보여줍니다. $k + 1$ 방정식의 양변을 다음과 같이 분해합니다.
$$\dfrac{2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}$$
이것은 실수를 찾아서 수정하는 것을 포함하여 약간의 시간이 걸렸으며 책의 뒷면에서 내 대답을 확인했을 때 여기에서 볼 수 있듯이 두 줄로 입증되었습니다.
귀납법으로. 참$n=1$. 만약$n>1$, 다음 $$1^2+2^2+\dots+n^2=\left(1^2+2^2+\dots+(n-1)^2\right)+n^2=\\ \frac{(n-1)n(2n-1)}6+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$
유도는 사다리 비유로 이해하는 것입니다. 먼저 첫 번째 단계를 증명하십시오. $n = 1$ 그런 다음 임의의 단계를 가정합니다. $k$ 거기에 있고 그 다음 단계를 증명 $k + 1$거기입니다. 그렇게 할 수 있다면 무작위 단계를 첫 번째 단계로 설정하고 입증 된 것을 사용할 수 있습니다.$k + 1$사다리 전체를 횡단합니다. 이산 수학-초등학교와 그 이상에서 읽은 내용과 칸 아카데미와 theTrevTutor의 비디오에서 이해합니다.
저자가 사용한다는 것을 알았습니다. $n$ 대신에 $k$ 하지만 그 솔루션에서 어떻게 $\frac{(n-1)n(2n-1)}6$출처 및 사용 방법. 사다리 비유를 참조하면 솔루션이 이전 단계를 사용한다고 생각했습니다.$k$, $k - 1$, 이후 단계 대신 $k + 1$ 그러나 나는 그것을 해결할 수 없습니다.
이런 종류의 솔루션은 이전에 더 많은 줄로 해결 한 또 다른 문제에 대해 제공되었으므로 지금부터 직접 적용 할 수 있도록 내가 놓친 부분을 이해하고 싶습니다. 누군가 나에게 이것을 분명히 설명해 주시겠습니까?
이것은 내 작품입니다.
https://i.imgur.com/B6HO0O5.png
https://i.imgur.com/VDtWV8M.png
답변
솔루션의 첫 번째 줄은 단순히 잘못되었습니다.
$$1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2+n^2=\left(1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2\right)+n^2\,.$$
진술 $P(n)$ 약 $n$ 우리는 모두를 위해 증명하려고 $n\ge 1$ 그게
$$1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,.\tag{1}$$
당신이 가정 한 유도 단계를 위해 $P(k)$ 그리고 증명했다 $P(k+1)$보류; 주어진 솔루션에서 유도 단계는 다음을 가정하여 수행됩니다.$P(n-1)$ 그리고 그것을 증명 $P(n)$보류. 대체하는 경우$n-1$ ...에 대한 $n$ 에 $(1)$, 당신은 ge
$$\begin{align*} 1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2&=\frac{(n-1)n\big(2(n-1)+1\big)}6\\ &=\frac{(n-1)n(2n-1)}6\,. \end{align*}$$
당신에게 주어진 증명의 마지막 단계는 대수학을 상당히 숨 깁니다.
$$\begin{align*} \frac{(n-1)n(2n-1)}6+n^2&=\frac{n(n-1)(2n-1)+6n^2}6\\ &=\frac{n\left(2n^2-3n+1\right)+6n}6\\ &=\frac{n\left(2n^2+3n+1\right)}6\\ &=\frac{n(n+1)(2n+1)}6\,. \end{align*}$$
정말 당신이 한 일입니다. $P(n-1)$ 암시 $P(n)$ 그것을 보여주는 대신 $P(n)$ 암시 $P(n+1)$, 독자가 확인하도록 많은 대수를 남깁니다.