경로 통합 ID

Question

저는 EFT로서 GR 에 대한 EPFL 강의 에서 배경 필드 방법을 읽고 있습니다. 저자는 23 페이지, 방정식 (174)에서이 ID를 사용합니다.$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$이는 표준 가우스 (경로) 적분입니다. 그러나 그들은 이것을 계속 사용합니다.$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$나는 완전히 이해하지 못합니다. 이것은$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? 그렇다면 왜 적분이$\exp$ - '취소'에 해당하는 델타 함수가 있어야하지 않습니까?

Answer 1

1. 예 OP가 맞습니다 : 강의는 가우시안 경로 통합 과 정체성을 사용하고 있습니다.$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$eq. (174).

2. 다음으로 강의에서는 완전성 관계를 사용합니다. $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ 과 $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$eq. (174).

3. 마지막 eq의 RHS에서 살아남은 추적. (174) 예를 들어 향미 추적 일 수 있으며 eq. (iii) 부분 추적 일뿐 입니다.

Answer 2

네, 맞습니다-행렬식 대수 신원은 위에서 사용되었습니다. 지수에 관해서는 다음 ( Greiner의 Field Quantization 책 , Reinhardt 11 장, 353 페이지)이 사용되었습니다.
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

위의 증거도 거기에 제공됩니다. 그만큼$2\pi$는 아마도 이미 수반되는 상수에 흡수되었을 것입니다. 귀하의 질문에 주어진 표현은 (아마도) Feynman (경로 적분) 형식주의의 행동 적분이며 그 이유는$-i$ Feynman 형식주의의 핵심은 행동을 다음과 같이 쓸 수 있다는 것입니다. $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. 건배!