행렬의 입방근.

Question

행렬 A를 어떻게 찾을 수 있습니까? $B=A^3$ 어디 $$B=\begin{pmatrix} 8 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

특성 다항식 작업을 시도했습니다. $A$, 그러나 그것이 $f(t)=(8-t)^3$ 다음의 유일한 고유 값 $B$ 8입니다. 제가하고 싶었던 것은 $B=QDQ^{-1}$ 어디 $D$대각선 행렬이지만 할 수 없습니다. 나는 이미 그것을 알고있다$A$ 다음과 같아야합니다. $\begin{pmatrix} 2 & 1 &-1/2 \\ 0 &2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$.

어떤 sugestions?

Answer 1

여기에 멋진 자체 포함 된 접근 방식이 있습니다. 허락하다$I$ 단위 행렬을 표시하고 $$ N = \pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}. $$ 당신의 매트릭스는 $$ B = 8I + 12 N. $$ 나는이 행렬의 세제곱근이 다음과 같은 형태로 쓰여질 수 있다고 주장한다 ( "추측") $$ A = a_0 I + a_1 N + a_2 N^2. $$ 주목 $N^3 = 0$, 우리는 확장 $(a_0 I + a_1 N + a_2 N^2)^3$ 얻기 위해 $$ B = A^3 = a_0^3 I + 3a_0^2a_1 N + 3a_0(a_1^2 + a_0a_2)N^2. $$ 이제 시스템을 해결하는 것으로 충분합니다. $$ \begin{cases} a_0^3 = 8\\ 3a_0^3a_1 = 12\\ 3a_0(a_1^2 + a_0a_2) = 0. \end{cases} $$