Hamiltonian을 대각선으로하는 회전
나는 다음 질문을 우연히 발견했습니다.
스핀의 Hamiltonian을 감안할 때$1/2$ 입자 $$\hat{H}=\epsilon\begin{pmatrix} 0 & -e^{i\pi/4}\\ -e^{-i\pi/4} & 0 \end{pmatrix} = \frac{2\epsilon}{\hbar} \vec{S} \cdot \frac{\hat{y}-\hat{x}}{\sqrt{2}}$$
대각선으로 회전하는 변환은 무엇입니까 $\hat{H}$? 회전 각도 찾기$\theta$ 그리고 회전축 $\hat{n}$.
대각 화하는 행렬 찾기 $\hat{H}$특별히 어렵지 않습니다. 예를 들어
$$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1+i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1-i}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix}$$
일을합니다. 그러나이 행렬은 각도를 통한 변환에 해당한다고 주장됩니다.$\theta=\pi/2$ 약 $\hat{n}=(\hat{x}+\hat{y})/\sqrt{2}$. 그러나 이것이 어떻게 즉시 항목에서 유추 될 수 있는지 잘 모르겠습니다.$U$. 또한 나는 생각하지 않는다$U$ 다음의 합으로 분해 될 수 있습니다. $\sigma_x$ 과 $\sigma_y$파울리 행렬. 직접 계산을 생각했습니다$\mathcal{D(\hat{n},\theta})=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\vec{S}\cdot \left(\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}\right)\right]$ (회전 연산자)와 일치하는지 확인 $U$관련이 있지만 너무 피곤해 보입니다. 사소한 것을 놓친 것일까 요?
답변
그냥 표준 사용 파울리 행렬의 지수를 것을 알고,$\vec S =\hbar \vec \sigma /2$ 회전 각도를 절반으로 줄이는 이중선 표현의 경우 $$ e^{-i{\pi\over 4}\vec \sigma \cdot { (\hat x + \hat y) \over \sqrt{2}} } = \cos (\pi /4) -i \vec{\sigma}\cdot \frac{(\hat x +\hat y)} {\sqrt{2}} ~ \sin (\pi/4)\\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (I -i(\sigma_x+\sigma_y)/\sqrt{2})=U. $$
오일러의 공식과 유사합니다.
Pauli 행렬의 속성을 사용하여 대각 대수를 수행했다고 생각합니다. 거의 계산이 없습니다!
- 두 개의 직교 단위 벡터를 고려하는 것이 직감에 도움이 될 수 있습니다. $\hat y \pm \hat x$ 첫 번째를 중심으로 두 번째를 직각으로 회전하려면 $\hat z$, 그래서 대각선 $\sigma_z$. 반대로 아는$\sigma_z$ 유일한 대각선 파울리 행렬입니다. 어떻게 회전합니까? $\hat y - \hat x$ ...에 $\hat z$? 분명히 축으로서의 외적 주위의 π / 2 회전에 의해! 그림을 그립니다.
참조 : 좌표 프레임을 회전 한 후 Hamiltonian 변경 방법에 대한 내 대답 .$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$
참고 : 좌표축을 따라 단위 벡터에 대해 다음에서 $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ 나는 상징을 사용한다 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 각기. $\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$
Hamiltonian은 다음과 같은 hermitian traceless 행렬
\ begin {equation} H \ boldsymbol {=} \ alpha \ left (\ sigma_ {y} \ boldsymbol {-} \ mathrm \ sigma_ {x} \ right) \ ,, \ quad \입니다. alpha \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2} \ epsilon} {\ hbar} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} Hermitian traceless 행렬과 실수 3- 벡터 사이의 이등분 (논의 됨) 제 '에서 추론 상기 기준')이 해밀 토니안의 대표적인 실시간 3 벡터는 {식} \ mathbf {H} \ boldsymbol {=} \ 알파 \ 좌측 (\ mathbf {J} \ boldsymbol을 {시작 \ -} \ mathbf {i} \ right) \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} ( 그림 -01 참조).
Hamiltonian의 경우 $H'$ 방정식 \ eqref {01}는 대각선으로 변환되어야합니다. $H'$우리 있어야 \ {식} H '\ boldsymbol {=} C \ \ sigma_ {Z} \ ,, \ 쿼드 C \에서 \ mathbb {R} \ 태그 {03} \ 라벨 {03} \ 단부 {시작할 방정식} 위의 표현은 정당화됩니다.$\sigma_{z}$ 은 대각 암자 행렬이지만 더 나아가 흔적이 없습니다 ($H'$ 추적은 유사성 변환에서 변하지 않기 때문에 추적이 없어야합니다).
변환 된 대각 에르 미트 트레이스리스 행렬로 $H'$대표 실수 3- 벡터 \ begin {equation} \ mathbf {h '} \ boldsymbol {=} c \, \ mathbf {k} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}에 해당합니다. 회전이어야하고 벡터는$\mathbf{h'}$ 방정식 \ eqref {04}는 벡터의 이미지가됩니다. $\mathbf{h}$방정식 \ eqref {02}이므로 \ begin {equation} \ Vert \ mathbf {h '} \ Vert \ boldsymbol {=} \ Vert \ mathbf {h} \ Vert \ quad \ boldsymbol {\ Longrightarrow} \ quad c \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ alpha \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} 즉\begin{align} H'&\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\sigma_{z} \tag{06a}\label{06a}\\ \mathbf{h'} &\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k} \tag{06b}\label{06b} \end{align} 그림 -01과 같이.
벡터를 가져 오는 가장 간단한 회전 $\mathbf{h}$ 벡터 $\mathbf{h'}$ 단위 벡터 주변 $\mathbf{n}$ 각도를 통해 $\theta$ 주어진 \begin{align} \mathbf{n}&\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}}{\sqrt{2}} \tag{07a}\label{07a}\\ \theta &\boldsymbol{=}\dfrac{\pi}{2} \tag{07b}\label{07b} \end{align}그림 -01에 나와 있습니다. 이 회전은 다음과 같은 특수 단일 행렬로 표시됩니다.$SU(2)$ \ begin {equation} \ boxed {\ : \ : U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} \ cos \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {-} i (\ mathbf {n } \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {- } i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b }}} \ : \ :} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation}
Pauli 행렬의 속성을 사용하여 쉽게 확인할 수 있습니다. $U_{\mathbf{n} ,\theta}$ Hamiltonian을 대각선 화합니다. $H$, 즉 \ begin {equation} U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 09} \ label {09} \ end {equation} 또는 명시 적으로 \ begin {equation} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {-} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \, \ left (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}}} \ right) \, \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {+} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}} \ right) \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag {10} \ label {10} \ end {equation}
벡터를 가져 오는 회전이 무한히 많이 존재하므로 $\mathbf{h}\boldsymbol{=}\alpha\left(\mathbf{j}\boldsymbol{-}\mathbf{i}\right)$ \ eqref {02} 방정식을 벡터에 $\mathbf{h'}\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k}$ 방정식 \ eqref {06b}의, 그래서 Hamiltonian을 대각 화하는 방정식 \ eqref {08}과 같은 무한히 많은 단일 행렬이 있습니다. $H\boldsymbol{=}\alpha\left(\sigma_{y}\boldsymbol{-}\mathrm \sigma_{x}\right)$방정식 \ eqref {01}. 예를 들어 단위 벡터를 중심으로 한 회전$\mathbf{m}$ 각도를 통해 $\phi$ 주어진 \begin{align} \mathbf{m}&\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{-}\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}\boldsymbol{+}\sqrt{2}\mathbf{k}}{2} \tag{11a}\label{11a}\\ \phi &\boldsymbol{=}\pi \tag{11b}\label{11b} \end{align}그림 -02에 표시된대로 Hamiltonian을 대각선으로 표시합니다. 해당하는 특수 단일 행렬은 \ begin {equation} \ boxed {\ : \ : U _ {\ mathbf {m}, \ phi} = \ cos \ frac {\ phi} {2} -i (\ mathbf {m} \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ phi} {2} = \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right ) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b}}} \ : \ :} \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} 다시 말하지만 Pauli 행렬의 속성을 사용하여 쉽게 확인할 수 있습니다.$U_{\mathbf{m} ,\phi}$ Hamiltonian을 대각선 화합니다. $H$, 즉 \ begin {equation} U _ {\ mathbf {m}, \ phi} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {m}, \ phi} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 13} \ label {13} \ end {equation} 또는 명시 적으로 \ begin {equation} \ left [\ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ 오른쪽] \, \ left (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}}} \ right) \, \ left [\ boldsymbol {-} \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ right] \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag { 14} \ label {14} \ end {equation}
