한계 평가.

Question

N. Piskunov에서 그는 낙하물에 작용하는 공기 저항의 예를 들어 미분 방정식을 설명했습니다. 미분 방정식을 평가 한 후 속도에 대한 방정식을 다음과 같이 얻습니다.$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

그런 다음 $k = 0$ 그런 다음 방정식은 기본 방정식으로 바뀝니다. $$v = v_o + gt.$$

이제 나는 공기 저항이 0 일 때이 속도 방정식이 성립하기 때문에이 진술을 이해합니다. 그러나 한도를 평가할 때이 진술을 증명할 수 없습니다.$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

한계를 평가하는 데 도움을 주시면 감사하겠습니다!

Answer 1

당신은

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

첫 학기 제한, 즉, $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$는 단순히 $v_{o}$. 두 번째 학기에는 한계가되기 때문에$\frac{0}{0}$사용 로피탈의 정리를 , 제공

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

동일한 값을 얻기 위해 dnfu 의 질문 주석 목록 사실을 사용할 수도 있습니다 . \ eqref {eq1A}의 결합 된 결과는 다음과 같습니다.

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

대안으로 표준 제한에 따라 $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ 같이 $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

결과는 다음과 같습니다.

Answer 3

와

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

된다

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$