Hilbert 공간의 닫히지 않은 부분 공간을 분류 할 수 있습니까?

Question

허락하다 $H$ 힐버트의 공간입니다.

격렬하게 불연속적인 선형 함수 에 대한 이전 질문에 동기가 부여되었으며 , 이는 밀도가 높은 초평면을 분류하려는 시도로 해석 될 수 있습니다.$H$, 이제 요점으로 바로 가겠습니다.

질문 .

1. 밀도가 높은 초평면 사이에 중요한 차이점이 있습니까? $H$?

2. 만약 $L$ 과 $M$ 두 개의 조밀 한 초평면이 $H$, 단일 연산자 매핑이 있습니까? $L$ ...에 $M$?

3. (2)에 대한 답이 부정적이라고 가정하면, 단일 그룹의 자연스러운 행동을 위해 얼마나 많은 궤도가 있는지 $\mathscr U(H)$ 조밀 한 초평면 세트에서?

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일반적인 (닫혀 있거나 밀집된 것은 아님) 부분 공간에 대해 말하기 $H$, 그 점에서 말할 수있는 몇 가지가 있습니다.

예를 들어, 그러한 모든 공간이 경계 연산자의 범위로 설명되는 것은 아니며, 특히 조밀 한 초평면이 한정되지 않습니다. 이는 그러한 연산자의 범위가 유한 공동 차원을 가지고 있으면 닫아야하기 때문입니다 (이는 닫힌 그래프 정리에서 쉽게 따름).

압축 연산자의 범위에는 무한 차원의 닫힌 부분 공간이 포함되어 있지 않으므로 부분 공간을 분류하는 데 사용할 수있는 또 다른 속성입니다.

더 많은 질문 .

1. 위상 / 분석 용어로 표현 된 필요하고 충분한 조건이 있으며, 모든 부분 공간 중 경계 (각각 압축) 연산자의 범위를 특성화합니까? $H$?

2. 닫히지 않은 부분 공간의 단일 등가 클래스 수 $H$거기 있어요? 이들 중 몇 개가 토폴로지 / 분석 용어로 설명 될 수 있습니까?

Answer 1

콤팩트 한 경우에 대한 질문 4에 대한 간단한 대답이 있습니다. 무한 차원 부분 공간 $E\subseteq H$ 직교 (직교 정규와 반대) 집합이있는 경우 컴팩트 연산자의 범위입니다. $\{e_n\}_{n\in {\mathbb N}}\subseteq E$, 그런 $$ \lim_{n\to \infty }\Vert e_n\Vert = \infty , $$ 과 $$ E=\Big\{\xi \in \overline{\text{span}\{e_n\}}: \sum_{n=1}^\infty \big|\langle \xi , e_n\rangle \Big|^2<\infty \Big\}. $$ 이는 컴팩트 연산자에 대한 스펙트럼 정리와 컴팩트 연산자의 범위가 $T$ 범위와 일치 $|T|$.