$I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$ 모든 이론을 위해 $T$, 모든 추기경 $\lambda$.

Question

허락하다 $T$ 완전한 1 차 이론이어야합니다.

가정 $\lambda \geq |L(T)| + \aleph_0$, 명백합니까 $I(T, \lambda) \leq 2^{\lambda}$? 이 질문은 위키피디아에 대한 Vaught의 추측을 살펴보면서 촉발되었습니다. 나는 모델 이론 지식이 많지 않기 때문에 당연한 것일 수도 있고 그냥 멍청한 것일 수도 있고 아직 다루지 않은 기술을 사용하고있을 수도 있습니다. 아니면 이것은 아마도$\lambda = \aleph_0$ ?

제가 생각할 수있는 유일한 것은 그들이 만족하는 유형에 따라 비 동형 모델의 수를 세는 것입니다.

Answer 1

설명하는 설정에는 최대 $2^\lambda$ $L$-구조, 따라서 확실히 더 이상 $2^\lambda$ 모델의 동형 클래스 $T$.

수정 $\lambda \geq |L|+\aleph_0$, 그리고 $M$ 카디널리티의 집합 $\lambda$.

각각 $n$-항 기능 기호 $f$ 우리는 해석해야한다 $f$ 함수로서 $f : M^n \to M$. 정확히 있습니다$\lambda^{(\lambda^n)} = 2^\lambda$선택할 수있는 많은 기능. 마찬가지로 각각$n$-우리가 가진 관계 기호 $2^\lambda$ 선택할 수있는 옵션이 있으며 각 상수 기호에 대해 $\lambda$ 선택할 수있는 옵션.

따라서 언어의 각 기호에 대해 최대 $2^\lambda$선택. 기껏해야$\lambda$ 언어의 기호, 우리가 선택해야하는 총 수는 최대 $(2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \times \lambda} = 2^\lambda$.