이다 $Y - E[Y|X]$ 독립 $X$?

Question

임의의 두 확률 변수에 대해 $X$ 과 $Y$은 $Y - E[Y|X]$ 독립 $X$? 컨디셔닝은 모든 측면을 포함해야하기 때문에 직관적으로 그럴 것이라고 생각합니다.$X$ 얽힌 $Y$.

Answer 1

가정 $Y \sim U(-1,1)$ 과 $X=Y^2$ 그때 $E[Y \mid X] \equiv 0$,하지만 $Y$ 과 $X$ 스스로 독립적이지 않습니다.

사실은 $X$ 과 $Y-E[Y \mid X]$이다 상관 .

그건 그렇고, 엄격하게 증가하는 기능을 고려하여 이와 같이 많은 예제를 만들 수 있습니다. $f : [0,\infty) \to \mathbb{R}$ (자동으로 Borel 측정 가능), 본질적으로 $Y$ 대칭 분포로 $0$, 및 $X=f(|Y|)$. (물론 "본질적으로"라는 단어를 사용합니다.$E[Y]$ 존재합니다.)

Answer 2

그것들은 항상 상관 관계가 없습니다.

$$ Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X]) = Cov(X,Y) - Cov(X,\mathbb E[Y|X]) $$

기대대로 다시 작성하고 타워 속성을 사용하고 $X$ 측정 가능성 $X$, 우리는 $$Cov(X,Y - \mathbb E[Y|X])= \mathbb E[XY] - \mathbb E[X]\mathbb E[Y] - \mathbb E[X\mathbb E[Y|X]] + \mathbb E[X]\mathbb E[\mathbb E[Y|X]]=0$$

하지만 복용 $X \sim \mathcal N(0,1)$, $\varepsilon = \pm 1$ 확률 적으로 $\frac{1}{2}$ 독립적 $X$ 과 $Y=\varepsilon X$, 당신은 얻을 것이다 $\mathbb E[Y|X] = 0$ 거의 확실하지만 $X$ 과 $Y$ 독립적이지 않습니다. $X \in (0,1) , Y \in (1,2)$)