일반 번들 및 블로우 업

Question

복잡한 투영 공간에 대해 작업 해 보겠습니다. 부드러운 다양성을 고려하십시오. $X$ 및 부분 변형 $Y$. 우리가 폭발을하면$X$ 센터 $Y$, 우리는 새로운 다양성을 얻습니다 $\tilde{X}$,지도와 함께 $\pi: \tilde{X}\to X$, 이는 예외적 궤적 외부의 동형, 즉 $Y$.

정확한 참조는 없지만 예외적 인 제수는 $Y$, 그것은 역 이미지입니다 $\pi^{-1}(Y)$, 일반 번들의 투영 번들과 일치합니다.

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

어디 $\sim$ 의 표준 행동입니다 $\mathbb{C}$.

질문 :

• 이 구조에 대한 좋은 참조는 무엇입니까? 나는 그것이 Hartshorne의 Algebraic 기하학의 Theorem II.8.24의 내용이라는 것을 알고 있지만, 체계 이론 (및 프로젝트 구성, 일관된 시브)에 대한 지식이 없으면 약간 어렵 기 때문에 더 접근하기 쉬운 텍스트가있을 수 있습니다.
• 이 메모의 86-87 페이지에서 ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), 우리는 합리적인 곡선으로 시작합니다. $\Gamma^+$ 에 $X^+$ 일반 번들로 $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: 그런 다음 저자가 폭발을 수행합니다. $\Gamma^+$, 그리고 예외적 인 제수가 다음과 같다고 주장합니다. $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ 그러나 위의 공식을 사용하면 $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: 내가 무엇을 놓치고 있습니까?

Answer 1

귀하의 진술에 가설이 없습니다. $Y$비단 수입니다. 어쨌든 대체 참조는 Vakil의 "The Rising Sea : Foundations of Algebraic Geometry"의 섹션 22.3 이며 일반적으로 Hartshorne보다 더 접근하기 쉬운 참조로 간주됩니다. Vakil은 여러분이 원하는 진술에 대한 증거를 제공하지 않습니다 (Exercise 22.3.D). 그러나 실습에 대한 리드 업은이를 증명하는 방법에 대한 유용한 지침을 제공 할 수 있습니다.

안타깝게도, 나는 계획, Proj 구성 및 준 간접 시브의 언어를 적어도 어느 정도 사용하지 않는이 진술에 대한 참조를 알지 못합니다.

두 번째 질문에 답하기 위해 두 개의 투영 번들은 동형입니다. 왜냐하면 투영 번들은 라인 번들로 텐서 링하면 변경되지 않기 때문입니다. 이것은 Vakil의 노트에서 연습 17.2.G이고 Hartshorne의 Lemma II.7.9입니다. 일반 성명에 대한 또 다른 참조는 Stacks Project, 태그 02NB 입니다. 특히 모두를 위해$c \in \mathbb{Z}$, 우리는 $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$