임베딩 $\sqrt{|i-j|}$ 거리 $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Aug 16 2020

미터법 공간 고려 $(X=\{1,\ldots,n\},d)$ 다음과 같이 :

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

할 수있다 $(X,d)$ 등각 투영하다 $(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? 그렇다면 자연스러운 등거리 변환을 찾을 수 있습니까?$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?


컨텍스트를 추가하기 위해 무작위 걷기를 고려합니다.

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

어디 $X_i$의 독립적 인 표준 가우스입니다. $S=(S_1,\ldots,S_n)$ (각 방향을 따라 투영이 있기 때문에) 정규 분포를 따르므로 $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$ 다음과 같이 :

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

어디 $g$ 이다 $n$-차원 표준 가우스. 그러나 밝혀졌습니다.$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

임베딩의 존재를 의미합니다. 나는 그것에 대한 명백한 증거가 있는지 궁금합니다 (확실히 있어야합니다!).

답변

3 BenGrossmann Aug 15 2020 at 23:16

다음은 그러한 임베딩입니다. define $$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$