임섭 찾기

Question

이 문제를 해결할 방법을 찾을 수 없습니다. 나는 lim sup의 정의를 사용해 보았지만 어디에도 없었습니다.

시리즈를 고려하십시오. $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

그때 $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

편집 : 이것은 내가 어제 밤에 한 일입니다. 내 작품을 보여주지 않은 것에 대해 사과드립니다.

나는 순서를 보았다 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. 나는 그것이 보이는 것을 관찰했다$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

따라서 일반적인 용어는 다음과 같습니다. $(\frac{2}{3})^n$ ...에 대한 $n$ 이상하고 $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ ...에 대한 $n$ 조차.

나는 꼬리 시퀀스의 상한을 살펴본 다음 그들의 극한을 찾기로 결정했습니다. 내가 찾은 시퀀스는$\infty$ 다음에 대한 시퀀스 이후 각 꼬리 시퀀스의 상한으로 $n$단조롭게 증가합니다. 따라서 나는 림업이$\infty$. 그러나 대답은$\frac{1}{2}$.

내가 찾은이 시퀀스는 내가 취한 지수가 잘못 되었기 때문에 물론 실수입니다.

시퀀스는 실제로 다음과 같습니다. $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

그러나 여전히 꼬리의 최상단 순서는 $\infty$ 따라서 상한선의 최소값은 $\infty$. 내가 무엇을 놓치고 있습니까?

Answer 1

당신의 주장은 완벽하게 괜찮습니다. 그리고 이것의 "산적"은 문제의 저자입니다. $a_{n}$표현됩니다. 내가 몇몇 저자들에게 사실임을 알게 된 것은 다음과 같습니다. 의심 스러울 때 수학 교과서는 항상 "3"로 쓰여집니다.

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치료하는 대신 $a_{n}$ 교대 역수 시퀀스 $2$ 과 $3$, 우리는 $a_{n}$ 에서와 같이 동일한 거듭 제곱의 시퀀스가되도록 $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$, 그런 다음 문제의 시리즈에 대한 대체 (그리고 뒤에서 볼 때 진정한) 설명을 얻습니다. 다음 계산 순서로 우리는$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$:

먼저 재 작성 $a_{n}$ 공통 분모에서 우리는 $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ 그래서

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

분자와 분모 나누기 $3^{n+1}$ 우리는 도착한다 $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ 이제부터 $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ 우리는 그것을 얻습니다 $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ 때문에 $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ 시퀀스 용 $x_{n}$ 수렴하면 우리는 $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.