자유 입자의 파동 함수

Question

위키 에 따르면 자유 입자에 대한 파동 함수는 다음과 같습니다.

$$ \psi(\mathbf{r}, t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} $$

필요한 제한과 단일 차원으로 다음과 같이되었습니다.

$$ \psi(\mathbf{r}, t) = Ae^{i k \left( x-\frac{h}{2m\lambda} t \right) } $$

1. 이 파동 함수는 정규화를 충족해야합니다. $$|A|^2 x \rvert_{-\infty}^\infty = 1 $$ 누구에게나 불가능한 것 $A $?

2. 이 파동 함수는 어떤 종류의 입자에 적용 할 수 있습니까?

3. 광자에 적용 가능한 경우 전자기파와 비교할 수 있습니다.

$$ Ae^{i k \left( x-vt \right) } $$

(와 $v=c$ 빈 공간에)

우리는 뉴턴에서 볼 수 있습니다 $v$ 매체와 관련된 용어로 빈 공간의 경우 보편적 인 상수 인 반면 양자에서는 $\frac{h}{2m\lambda}$, 입자 특성에만 의존하는 것 $m$ 과 $\lambda$. 두 사실을 일치시키는 방법은 무엇입니까?

Answer 1

첫 번째 질문에 대해 자유 입자의 파동 함수는 벡터 공간에 속하지 않습니다. $L_2(\mathbb{R})$ 적분 할 수있는 제곱 계수를 갖는 함수 $\mathbb{R}$. 공식적으로 그것은 수학적 문헌에서 "분포"로 알려진 요소를 가진 일반화 된 벡터 공간에 있습니다. 수학적 세부 사항이 기억 나지 않습니다. 그러나 물리적으로 이것은 Heisemberg의 원칙을 반영합니다. 이 표현에서 입자의 운동량을 정확히 알고 있습니다.$\hbar k$ (단순히 운동량 연산자를 적용 $-i\hbar \partial/\partial x$기능에 연결하고 얻는 것을 확인하십시오. 그래서 Heisemberg의 원리는 당신이 위치에 대한 완전한 불확실성을 가지고 있으며 실제로 공간에서의 확률 분포는 상수$|A|^2$. 비통 합성은 운동량 값에 불확실성이 없기 때문에 형식주의의 병리입니다.

두 번째 질문 : 일반적인 형태를 취하면 모든 자유 입자에 적용 할 수 있습니다. $Ae^{i(kx-\omega_k t)}$, 어디 $\omega_k$특정 문제에 따라 달라지는 분산 관계입니다. 예를 들어 이것은 다음과 같은 경우 외부 전위가없는 슈뢰딩거 방정식의 해입니다.$\omega_k = \hbar k^2/2m$. 광자의 문제는 완전히 상대 주의적이라는 것입니다 ($m=0$) Schrodinger 방정식에 의해 올바르게 설명되지 않은 객체. 사실 포논에 대한 정확한 분산 관계는$\omega_k=\hbar k^2/2m$ 분명히, 이것은 주어진 말이되지 않을 것이기 때문에 $m=0$. 대신에$\omega_k = c k $, 우리가 이미 전자파에 대해 알고 있듯이; 그러나 이것은 슈뢰딩거 방정식의 완전 상대 론적 일반화와 일치합니다. (그리고 그것은 질문 3이었습니다 :) 이것이 도움이 되었기를 바랍니다!)