적분 커널 $e^{itH_{0}}$

Question

양자 역학에서 단일 입자 시스템의 시간 진화 상태는 다음과 같이 주어진다. $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, 어디 $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ 자유 해밀턴입니다. $t\in \mathbb{R}$ 과 $\Delta$일반적인 Laplace 연산자입니다. 둘 다 어딘가에서 봤어$e^{itH_{0}}$ 과 $e^{tH_{0}}$적분 커널이 있습니다. 예 : \ begin {eqnarray} (e ^ {-itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} 및 \ begin {eqnarray} (e ^ {-tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } 여기서$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ 과 $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

질문 : (\ ref {1}) 및 (\ ref {2})를 어떻게 증명할 수 있습니까?

Answer 1

기본적으로 PDE가 있습니다. $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

푸리에 변환을 $\vec{x}$ 인수 결과는 ODE $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ 솔루션 $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

오른쪽은 다음 두 가지 기능의 곱입니다. $\vec{k}$ 따라서 컨볼 루션의 푸리에 변환입니다. $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ 어디 $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

만약 $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ 그때 $\hat{u}$ 변형 될 수 있습니다. $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

그러므로, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$