점근 분석에 대한 질문

Question

기능 고려 $f:\mathbb{R}^+\times\mathbb{N}\to\mathbb{R}$. 누구에게나$\lambda\in\mathbb{R}^+$ 과 $\eta\in\mathbb{N}$, $$f(\lambda,\eta) \ge 0 $$

또한 $$\lim\limits_{\lambda\to\infty} \sup\limits_{\eta\in\mathbb{N}}f(\lambda,\eta) = \Theta(1)$$

보여줘 $$\lim\limits_{\lambda\to\infty}\sum\limits_{\eta\in\mathbb{N}}\frac{f(\lambda,\eta)}{1+\lambda\eta^2} = \Theta(\frac{1}{\lambda})$$

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내가 알고 나는 어떤을위한 알고$\eta\in\mathbb{N}$ $$\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{1}{1+\lambda\eta^2} = \Theta(\frac{1}{\lambda})$$

이것은 Laurent 시리즈의 확장으로 입증 될 수 있습니다. $\frac{1}{1+\lambda\eta^2}$...에서 $\lambda=\infty$, 우리에게 $$\lim\limits_{\lambda\to\infty}\frac{1}{1+\lambda\eta^2} = \sum\limits_{r=1}^{\infty}(-1)^{r+1}\frac{1}{\eta^{2r}\lambda^{r}} = \Theta(\frac{1}{\lambda})$$

나는 또한 어떤 $\lambda>0$, 요약 $\sum\limits_{\eta\in\mathbb{N}}\frac{1}{1+\lambda\eta^2}$ 유한합니다.

그러나 나는 여전히 여기서 어떻게 진행해야할지 모르겠다. 내가 원하는 결과가 사실이라고 확신하지만 증명할 수는 없습니다. 나는 그것이 어렵지 않다고 생각하지만 어떻게 증명할 수 있는지에 대해서는 제대로 이해하지 못했습니다. 증명을위한 정확한 단계를 찾고 있습니다.

Answer 1

한다고 가정 $\lambda$ 충분히 크므로 $\sup _n f(\lambda ,n)$유한합니다. 하나는$$ \lambda \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{f(\lambda ,n)}}{{1 + \lambda n^2 }}} \le \sup _n f(\lambda ,n)\lambda \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{1 + \lambda n^2 }}} \le \sup _n f(\lambda ,n)\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{n^2 }}} = \frac{{\pi ^2 }}{6}\sup _n f(\lambda ,n) $$ 따라서 조건에 따라 $$ \mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } \lambda \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f(\lambda ,n)}}{{1 + \lambda n^2 }}} \le \frac{{\pi ^2 }}{6}\mathop {\lim }\limits_{\lambda \to + \infty } \sup _n f(\lambda ,n) < + \infty . $$ 반면에 $$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{f(\lambda ,n)}}{{1 + \lambda n^2 }}} \ge 0 = \frac{0}{\lambda }. $$