정의 할 수 있습니까 $z^{\frac{1}{2}}$ 홀로 모픽 기능으로 $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?

Question

중히 여기다 $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$

예를 들어 $z^{\frac{1}{2}}$ 홀로 모픽 함수로 정의 할 수 있습니다. $z=\frac{1}{2}$, 아주 작은 이웃을 선택하여 $z=\frac{1}{2}$, 적절한 정의 $arg(z)$ 거기에서 계속되도록합니다.

내 질문 : 할 수 있습니다 $z^{\frac{1}{2}}$ 에 홀로 모픽 기능으로 간주 $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? 여기$D$ 단위 디스크입니다 $\mathbb{C}$.

에 의해 정칙 함수 나는지도를 의미$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ Cauchy-Riemann 방정식을 다음과 같이 충족합니다. $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.

아래 답변에서 내 질문에 대한 답변이 부정적임을 알 수 있습니다. 다음과 같은 추가 관련 질문을 고려하고 싶습니다.

추가 질문 : 비슷한 질문이지만 이번에는 도메인을 고려합니다.$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$, 아주 작은 $\epsilon$.

Answer 1

아니요, 불가능합니다. 이 기능은 구멍이 뚫린$0$, 만들 것 $0$ 제거 가능한 특이점 $z^{\frac{1}{2}}$. 하지만$0$ 또한 미분의 제거 가능한 특이점이 될 것입니다. $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, 제거 가능한 특이점을 가질 수 없습니다. $0$ 구멍이 뚫린 동네에 묶여 있지 않기 때문입니다.