지수지도의 미분

Question

허락하다 $G$거짓말 그룹이어야합니다. 지수지도

$$\exp: T_e G \to G$$

에 의해 정의된다 $\exp (X)=c_X(1)$, 어디 $c_X$ 초기 점이있는 최대 적분 곡선입니다. $e$ 왼쪽 불변 벡터 장의 $v_X$ 의 위에 $G$ 에 의해 결정 $v_X(e)=X$, 또는 더 구체적으로 $v_X(e)=d_e(l_x)X,$ 어디 $l_x$ 왼쪽 번역 $x$ 거짓말 그룹에서 $G$.

우리가 미분을 취할 때 위의 정의만을 사용하여 증명하는 방법이 궁금합니다. $\exp:T_e G \to G$, 우리는

$$d_0(\exp)X=\frac{d}{dt}\exp(tX)|_{t=0}. $$

노트 $d_0(\exp)$ 지도입니다 $T_0(T_e G)\to T_e G$.

Answer 1

이것이 미분의 정의입니다. 그 때를 상기하십시오$f: M\to N$ 차별화 가능한 매핑이며 $x\in M$, 다음 $$d_x f : T_xM \to T_{f(x)}N$$ 다음과 같이 정의됩니다 : let $X\in T_xM$. 그러면 부드러운 곡선이 있습니다.$\gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M$ 그래서 $\gamma(0) = x$ 과 $\gamma'(0) = X$(실제로 이것은 탄젠트 벡터의 정의에 가깝거나 적습니다). 그런 다음 정의에 따라$$ d_x f (X) = \frac{d}{dt} (f\circ \gamma)(t) \bigg|_{t=0}.$$

귀하의 예에서 $\exp : T_eG\to G$, 그러면 우리는 $d_0 \exp : T_0(T_e G) \to T_eG$, 주어진 $$ d_0 \exp (X) = \frac{d}{dt} \exp (\gamma (t))\bigg|_{t=0}$$ 선택할 때 $\gamma (t) = tX$, 우리는 당신의 방정식을 복구합니다.