준 주입 링 등가.
Aug 28 2020
허락하다 $R$단위가있는 링 (일반적으로 비교 체적). 우리는 말한다$R$ 이다 $QI$ᆞ 링 (준 주입 링)마다 $R$-모드 $Q$, QI (준 주사 모듈)도 주사제입니다.
다음 동등성을 증명해야합니다.
$R$ 이다 $QI$-반지.
두 가지의 직접 합계 $QI$ $R$-모듈은 $QI$.
나는 모든 주입 모듈이 $QI$, 그래서 (1)$\Rightarrow$(2) 분명합니다. 하지만 (2)$\Rightarrow$(1)보기 힘들다. 나는 알고있다$QI$ 일반 모듈의 사본을 포함하는 모듈 $R_R$ 주입식이며 일반적으로 QI 모듈의 합계는 일반적인 QI가 아닙니다.
더 많은 정보를 찾으려고 노력했습니다. $QI$ 반지하지만 나는 특정을 찾지 못합니다. $QI$ 반지는 또한 유전적인 noetherian V-right이지만 나는 그것을 사용하여 직접적인 증거를 찾고 있습니다 $R$ 이다 $QI$ 링 및 속성 $QI$ 모듈.
정보가있는 힌트 또는 소스 $QI$반지? (Carl Faith의 "Algebra"를 읽었지만 유용한 참고 문헌은 "If$A\oplus B$ 이다 $QI$ 모듈 경우에만 $A$ 과 $B$ 에 주사하다 $R$-모드".)
답변
1 rschwieb Aug 31 2020 at 00:02
만약 $M$ 준 주입 모듈이고 인용 된 제안이 참이고 2)라고 가정하면 $M\oplus M$ 가설에 준주 사적입니다. $M$명제에 의해 주입됩니다. 1)을 증명합니다.