Lambert의 하한 $W$ 함수 $W_0(x)$

Question

분기의 하한을 찾고 싶습니다. $W_0(x)$ of Lambert $W$ 함수, 범위의 실제 값 $-\frac{1}{e} \leq x \leq 0$. 분명히$-1$ 앞서 언급 한 범위에서이 함수의 하한값이지만 약간 더 엄격한 하한이 필요합니다.

누구나 기본 함수 만 사용하여이 함수에 대해 더 나은 하한을 제공 할 수 있습니까?

Answer 1

$\require{begingroup} \begingroup$ $\def\e{\mathrm{e}}\def\W{\operatorname{W}}\def\Wp{\operatorname{W_0}}\def\Wm{\operatorname{W_{-1}}}\def\Catalan{\mathsf{Catalan}}$

그것은 보인다

\begin{align} f_1(x)&=\frac{1-\sqrt{1-(\e x)^2}}{\e x} \tag{1}\label{1} \end{align}

약간 더 나은 하한 $\Wp(x)$ 의 위에 $x\in[-\tfrac1\e,0]$,보다 \begin{align} f_2(x)&=\sqrt{\e x+1}-1 \tag{2}\label{2} \end{align}

$\endgroup$