Left Hilbert 대수의 문제.

Question

Strătilă와 Zsidó의 책 'Lectures on von Neumann Algebras'의 10.1 절을 살펴보면서 다음 문제에 봉착했습니다.

허락하다 $\mathfrak{A}$ 스칼라 곱이 부여 된 인볼 루션이있는 복잡한 대수 $\langle\cdot | \cdot\rangle$. 우리는$\xi\mapsto\xi^{\text{#}}$ 의 혁명 $\mathfrak{A}$ 그리고 $\mathscr{H}$ 완성으로 얻은 힐베르트 공간 $\mathfrak{A}$. 우리는$\mathfrak{A}^2$ 양식의 요소에 의해 생성 된 벡터 공간 $\xi\eta,\,\xi,\,\eta\in\mathfrak{A}$. 하나는 말한다$\mathfrak{A}$ 왼쪽 힐베르트 대수입니다.

1. $\mathfrak{A}\ni\eta\mapsto\xi\eta\in\mathfrak{A}$ 연속적입니다. $\xi\in\mathfrak{A}$.
2. $\langle\xi\eta_1|\eta_2\rangle=\langle\eta_1|\xi^{\text{#}}\eta_2\rangle$ 어떠한 것도 $\xi,\,\eta_1,\,\eta_2\in\mathfrak{A}$.
3. $\mathfrak{A}^2$ 밀도가 높다 $\mathfrak{A}$.
4. $\mathscr{H}\supseteq\mathfrak{A}\ni\xi\mapsto\xi^{\text{#}}\in\mathscr{H}$ 미리 닫힌 반 선형 연산자입니다.

에 따라 $1$, 어떠한 것도 $\xi\in\mathfrak{A}$, 하나는 정의 $L_{\xi}\in\mathscr{B}(\mathscr{H})$ 공식으로 $L_{\xi}(\eta)=\xi\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

문제 : 증명$I\in\overline{\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}}^{so}$, 어디 $I$ 의 정체성지도입니다 $\mathscr{H}$ 정의 $I(\eta)=\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

저자는 그것이 재산에서 따른다고 말합니다 $3$, 그러나 나는 그것을 논쟁하는 방법을 얻지 못하고 있습니다. 도움을 주셔서 미리 감사드립니다.

Answer 1

우리가 표시하자 $\mathscr{A}=\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}$. 고치다$\eta\in\mathscr{H}$ 그리고하자 $\Large\chi$$= \ overline {\ mathscr {A} \ eta} $ . 그런 다음 $ \ Large \ chi $ 및 $ \ Large \ chi$$^{\perp}$ 둘 다 불변 $\mathscr{A}$, 그래서 직교 투영 $P_{\Large\chi}$ 부분 공간에 $\Large\chi$ 에 $\mathscr{A}'$. 우리는 그것을 보여주고 싶습니다$\eta\in\Large\chi$. 이제 모두$\xi\in\mathfrak{A}$, \ begin {equation *} \ begin {split} L _ {\ xi} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) L _ {\ xi} (\ eta) = 0, \\ \ text {ie} {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ large \ chi} \ big) \ eta = L _ {\ xi ^ {\ text {#}}} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = 0, \\ \ text {ie} \ langle \ zeta, {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {for all} \ zeta \ in \ mathscr {H}, \\ \ text {ie} \ langle L _ {\ xi } (\ zeta), \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {for all} \ zeta \ in \ mathscr {H}. \ end {split} \ end {equation *} 하지만$\mathfrak{A}^2\subseteq \{L_{\xi}(\zeta):\xi\in\mathfrak{A},\zeta\in\mathscr{H}\}$ 밀도가 높다 $\mathfrak{A}$, 따라서 밀도가 $\mathscr{H}$. 따라서$\big(I-P_{\Large\chi}\big)\eta=0$, 즉 $\eta\in\Large\chi$.