리치 흐름 대칭 역설

Question

하여 이 유용한 논의 나는 유한 한 시간에 리치 흐름 매니 폴드의 대칭을 변경하지 않는 것을 알고; 즉$$\def\isom{\operatorname{Isom}}\isom(g_0)=\isom(g_t),\qquad \forall t\in[0,T].$$

나는 (정확하지 않은) Achilles paradox 와 같은 것을 주장하고 있습니다 : (가정$M$ 가까우며 (경계없이 컴팩트하고) RF 중에 특이점이 없습니다.)

RF 대칭 유지 $\forall t\in[0,T]$. 이제 더 나아가, RF는 대칭을 유지합니다.$\forall t\in[T,2T]$ 따라서 RF는 대칭을 유지합니다. $\forall t\in[kT,(k+1)T]$, 결과적으로 $$\isom(g_0)=\isom(g_t),\qquad \forall t\in[0,(k+1)T].$$ 그리고 임의의 $k$. 따라서 " 추악한 구체는 RF를 사용하여 둥글게 할 수 없습니다. "$k\to \infty$.

질문 : 이 역설의 문제점은 무엇입니까? 역설적 인 점은$k\to \infty$.

Answer 1

사실이지만 $g_t$ 모든 항목에 대해 동일한 등거리 변환 그룹이 있습니다. $t\in[0,\infty)$, 정규화 된 한계가 $\lim_{t\to\infty}g_t$동일한 등거리 변환 그룹이 있습니다. 더 간단한 비유로 기능 군을 고려하십시오.$f_t(x)=e^{-t}f_0(x)$. $f_t$ 번역이 불변하지 않을 수 있습니다. $t$,하지만 $\lim_{t\to\infty}f_t$이다. 아이 소메 트리 그룹은 메트릭에 "연속적으로"의존하지 않기 때문에 이전 진술에서는이 한계의 아이 소메 트리에 대해 언급 할 수 없습니다.

등거리 변환 그룹에 대한 논의에서 본질적으로 말하는 것은 "추악한"공간의 "특징"이 유한 한 시간 내에 사라지지 않지만 수렴 결과는 이러한 특성이 어떤 적절한 의미에서 "임의로 작게"된다는 것입니다. 기능을 완전히 제거하여 새로운 대칭을 도입하려면 한계가 필요합니다.