매듭 가닥의 수는 변하지 않습니까?
질문 : 노트 워크의 구성 요소 수가 특정 평면 임베딩에 따라 달라 집니까?
기본 평면 그래프 구조를 기반으로 켈트 매듭의 구성 요소 ( "개별 가닥") 수를 계산하는 방법을 조사했습니다. ( 여기 에서 노트 / 링크 및 평면 그래프 간의 관계를 참조 하십시오 ).
분명히 일반적인 그래프의 계산은 약간 복잡합니다. 예를 들어, 이 질문 의 참조 는 유니폼에 대해$m\times n$ 정사각형 그리드에서 구성 요소의 수는 $\mathrm{lcd}(m,n)$.
구성 요소 수 ( "가닥")를 계산하는 공식을 찾는 것이 만족 스러울 것입니다. 이러한 특성을 계산하기 어려웠더라도 가닥 수와 다양한 그래프 속성 (예 : 정도, 스펙트럼 등) 간의 관계를 찾을 수 있습니다. .
내가 취한 한 가지 접근 방식은 연결된 구성 요소에 관한 것입니다. 각각의 개별 가닥은 특정 궤도를 따르고 이러한 궤도의 연결된 구성 요소는 가닥과 정확히 일치합니다. 궤적을 전이 함수 매핑 (일부 추가 구조와 함께)으로 각 모서리를 후속 모서리로 정의 할 수 있습니다. 이것은주기가 구성 요소 인 (구조화 된) 모서리에 대한 순열입니다.
전환 함수는 연결된 구성 요소가 노트 워크의 구성 요소 인 고유 한 파생 된 방향 그래프 ( 그래프 인코딩 맵 과 유사)로 인코딩 될 수 있습니다 . 선형 대수를 통해 연결된 성분의 수는 인접 행렬의 라플라시안 0 고유 값의 다중 도로 복구 할 수 있습니다.
하지만 같은 그래프가 $G$여러 비 동형 평면 임베딩 (즉, 이중 이 비 동형)을 가질 수 있습니다 . 지금까지 내 경험상, 이것은 일부 매듭 속성 (예 : 각 구성 요소의 꼬임 수)을 변경했지만 구성 요소 수는 변경하지 않았습니다.
내 질문은 다음과 같습니다.
질문 : 노트 워크의 구성 요소 수가 특정 평면 임베딩에 따라 달라 집니까? 어떻게 증명합니까?
내 직감에 따르면 구성 요소의 수는 변하지 않지만 위의 접근 방식을 사용하여 반례 또는 증명을 만들 수 없었습니다.
추측 : 만약 $G$ 그래프이면 해당 매듭은 $c$ 구성 요소, 여기서
$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$
과 $T_G$ Tutte 다항식이고 $|E(G)|$그래프의 간선 수입니다. (?)
답변
허락하다 $D$링크의 다이어그램입니다. 예를 들면$D$게시물에있는 켈트 매듭 또는 링크의 다이어그램이 될 수 있습니다. 허락하다$G$ 체커 보드 그래프 $D$. 그래프$G$ 첫 번째 글 머리 기호에 설명 된 그래프입니다.
답변 : 구성 요소의 수$D$ 추상 그래프에 의해 결정됩니다. $G$ 그리고 방법에 의존하지 않습니다 $G$ 비행기에 내장되어 있습니다.
내가 아는 한, 이것은 1979 년 Michel Las Vergnas에 의해 처음 입증되었습니다. 그는 $D$ Tutte 다항식 평가에 의해 결정됩니다. $T_G(-1,-1)$. Tutte 다항식은 특정 임베딩에 의존하지 않기 때문에$G$, 결과는 다음과 같습니다. 이 논문의 참고 자료는
- Las Vergnas, Michel. 그래프의 오일러 분할 . 그래프 이론 및 조합론 (Proc. Conf., Open Univ., Milton Keynes, 1978), pp. 62–75, Res. Notes in Math., 34, Pitman, Boston, Mass.-London, 1979.
위 문서의 사본을 쉽게 찾을 수 없었기 때문에 Dan Silver와 Susan Williams (arXiv 링크 ) 덕분에 솔루션을 얻을 수있는 또 다른 방법이 있습니다. 그들은 행렬을 정의합니다$Q_2(G)$ 필드에 두 개의 요소가있는 항목 $\mathbb{F}_2$다음과 같이. 행렬의 행과 열은 모두 꼭지점으로 인덱싱됩니다.$v_1,\dots,v_n$ 의 $G$. 만약$i\neq j$, 다음 $ij$ 항목 $Q_2(G)$ 정점 사이의 가장자리 수입니다. $v_i$ 과 $v_j$ (취득$\mod 2$). 그만큼$ii$ 항목 $Q_2(G)$ 행에있는 다른 항목의 합계입니다. $i$ (다시 촬영$\mod 2$). 동등하게 우리는$ii$ 입장 $Q_2(G)$ 열에있는 다른 항목의 합계입니다. $i$.
링크 된 논문의 정리 1.1에서 그들은 $D$ nullity $Q_2(G)$. 그들은 Remark 1.2에서 이것이 구성 요소의 수를 의미한다고 언급합니다.$D$ 평면 임베딩과 무관합니다. $G$.
편집 : Las Vergnas 논문에 액세스 할 수 없지만 Tutte 다항식과 Jones 다항식을 사용하여 결과에 대한 또 다른 설명을 제공 할 수 있습니다.
허락하다 $L$ 번갈아 가며 연결하자 $D$ 링크의 교대 다이어그램이고 $G$ 체커 보드 그래프 $D$. 그런 다음 Tutte 다항식$T_G(x,y)$ 의 $G$ 및 Jones 다항식 $V_L(t)$ 의 $L$ 다음과 같이 관련됩니다. $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ 기능을 위해 $f_D(T)$ 정의 $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ 어디 $w(D)$ 의 몸부림이다 $D$, $|E|$ 가장자리의 수입니다. $G$, 및 $|V|$ 정점의 수입니다 $D$. 그것을주의해라$|f_D(1)|=1$, 따라서 $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$.
Jones 다항식은 skein 관계를 충족합니다. $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ 어디 $L_+,L_-,$ 과 $L_0$ 다음과 같습니다.
환경 $t=1$ 위의 타래 관계에서 $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$. 즉, Jones 다항식은$t=1$ 교차 변경시 변경되지 않으므로 $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ 어디 $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ 다음과 같은 수의 구성 요소를 가진 사소한 링크입니다. $L$. 존스 다항식$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ 이다 $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ 어디 $m$ 구성 요소의 수입니다 $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$. 그러므로$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$
위의 경우는 $L$번갈아 가며. 만약$L$대체되지 않는 경우 다음과 같이 진행하십시오. 허락하다$D$ 어떤 다이어그램이든 $L$. 밝히다$D_{\text{alt}}$ 같은 그림자가있는 다이어그램 $D$ 그러나 교대로 변경되는 교차점을 정의하고 $L_{\text{alt}}$ 다이어그램이있는 링크 $D_{\text{alt}}$. 참고$D$ 과 $D_{\text{alt}}$ 동일한 바둑판 그래프를 가짐 $G$. 위의 주장은$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ 어디 $m$ 구성 요소의 수입니다 $L_{\text{alt}}$. 이후$L_{\text{alt}}$ 과 $L$ 동일한 수의 구성 요소가있는 경우 결과는 다음과 같습니다. $L$ 게다가.