Meromorphic 미분과 철수.
Diamond & Shurman의 A First Course in Modular Forms 섹션 3.3에서 저자는 소위 "변형 차이"를 순진하게 다룹니다 . 그들이 나타내는 공백은$\Omega^{\otimes n}(X)$ 정말입니다 $n^{\text{th}}$ 소위 meromorphic 미분의 대칭 전력, 표시 $\Omega^1(X)$.
첫 번째 질문입니다. 뭐가$\Omega^1(X)$? 이 질문 에는 "변형 적 미분 번들의 n 번째 대칭 력의 한 부분"이라는 답이 있습니다.하지만 저에게 이것은 단순히 질문을 제기합니다. 변형 미분이란 무엇입니까?
나는 내가 뭘 안다고 믿는다 $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ (홀로 모픽 미분)은 실제 매니 폴드에 대한 부드러운 미분처럼 정의되어야합니다. $\Omega^1_{\text{hol}}(X)$ 단순히 코탄젠트 번들의 섹션입니다.
이제 철수에. 로컬에서 작성자는 다음과 같이 풀백을 정의합니다.$\varphi:V_1\to V_2$ 열린 하위 집합의 홀로 모픽 매핑입니다. $\mathbb C$. 그때$$\varphi^*(f(q_2)(dq_2)^n)=f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n(dq_1)^n.$$
미분 기하학의 맥락에서 이것을 이해하고 싶습니다. 내 이해 (실제 매니 폴드에 거의 배타적 임)는$\varphi:X\to Y$ 리만 표면의 홀로 모픽 매핑입니다. $\varphi$ 의 위에 $\operatorname{Sym}^n\Omega^1(Y)$ 어느 시점에서 $P\in X$ 이다 $$\varphi^*_P(\omega_1\cdots\omega_n)(X_1,\dots,X_n):=\omega_1(\varphi_{*,P}X_1)\cdots\omega_n(\varphi_{*,P}X_n)$$ 병치 $\omega\eta$ 대칭 제품을 나타냅니다. $\varphi_{*,P}$ 푸시 포워드를 나타냅니다. $\frac{1}{2}(\omega\otimes\eta+\eta\otimes\omega)$ 과 $X_1,\dots,X_n\in T_PX$.
다음은 첫 번째 질문에 다소 우발적 인 두 번째 질문입니다.
미분 기하학에서 Diamond와 Shurman의 지역 표현을 어떻게 복구합니까? 처음부터 다양한 언어로 순진한 정의를 올바르게 표현하고 있습니까?
지금까지 미분 가능한 매니 폴드의 맥락에서 벡터 번들 만 연구했습니다. 나는 (조만간) 유사 일관된 시브 연구를 시작하기를 희망하지만, 아직이 프레임 워크를 이해하지 못하므로 실제 및 복잡한 매니 폴드 및 번들의 맥락에서 대답 해주십시오. 나중에 이해해야하므로 감사하겠습니다.
답변
위의 설명에 대해 자세히 설명하고 답으로 바꾸겠습니다. meromorphic 미분을 정의하는 방법은 여러 가지가 있으며 가장 간단한 방법은 "코탄젠트 번들의 합리적인 섹션"일 것입니다. 더 정확하게 말하면$V \subseteq X$ 오픈 서브셋이고 $U \subseteq V$ 그런 $V \setminus U$ 고립 된 점으로 구성되고 $\omega \in \Omega^1_{hol}(U)$ 에 meromorphic 미분입니다 $V$ 기둥이있는 경우 $V \setminus U$. 또는 단순히 변형 미분 형식을 정의 할 수 있습니다.$V$ 차트 사용-변형 미분 형식 정의 $\mathbb{C}$ 같이 $ f(q) dq$ 와 $f$ meromorphic, 그리고 $\omega$ 미분 형식입니다. $V$ 차트의 경우 $\phi : W \rightarrow V \subseteq \mathbb{C}$, $\phi^{*} \omega$변형입니다. 이것은 Diamond와 Shurman에서 취한 접근 방식입니다.
표시된 공간 $\Omega^{\otimes n}(X)$ 아니다 $n$-대칭 적 힘이지만 $n$-th tensor power. 두 개의 라인 번들이있는 경우이를 텐서하여 새 라인 번들을 얻을 수 있습니다. 우리는$n$변성 차동의 라인 번들에 대한 시간. 더 명시적인 표기법으로$$ (dq)^n = (dq)^{\otimes n} = (dq)\otimes \ldots \otimes (dq) $$ 만약 $\varphi : X \rightarrow Y$ 홀로 모픽이고, 뒤로 당기면 $$ \varphi^*(\omega_1 \otimes \ldots \otimes \omega_n) = \varphi^*(\omega_1) \otimes \ldots \otimes \varphi^*(\omega_n) $$ 그리고 우리는 \begin{align*} \varphi^*(f(q_2)(dq_2)^{\otimes n}) &= \varphi^*(f(q_2)dq_2) \otimes (\varphi^*(dq_2))^{\otimes n-1} \\ &= (f(\varphi(q_1)) \varphi'(q_1) dq_1) \otimes (\varphi'(q_1)dq_1)^{\otimes n-1} \\ &= f(\varphi(q_1))(\varphi'(q_1))^n (dq_1)^{\otimes n} \end{align*} 여기서 우리는 체인 규칙을 사용하여 각 차동 장치를 되돌립니다.