모든 다항식 $p \in \mathbb{R}[x]$ 원어?
면책 조항 : 엔지니어로부터.
나는 다항식으로 작업하고 있습니다. $\mathbb{R}[x]$, 그리고 제곱없는 분해와 관련된 몇 가지 결과를 사용하고 싶습니다. 모든 유용한 결과는 UFD의 기본 다항식에 대해 설명됩니다. 내 참고 문헌은 원시를 정의하지 않으며 책에서 사냥을 할 때 충돌하는 정의를 내놓는 것 같습니다.
Winkler는 다항식이 $p \in I[x]$, 어디 $I$ UFD이며, 프라임이 없으면 원시입니다. $I$모든 계수를 나눕니다. 필드에는 소수가 없기 때문에 모든 다항식은$\mathbb{R}[x]$ 원시적입니다.
그러나 Geddes 등은 UFD의 다항식에 0이 아닌 항이 하나만 있으면 monic이면 원시적이라고 제안합니다.
프리미티브에 대한 여러 정의가 있습니까? 아니면 제가 뭔가를 오해 했습니까? 누군가 제곱없는 분해의 맥락에서 원시 다항식이 실수에 대해 무엇인지 말해 줄 수 있습니까?
답변
허락하다 $R$ 교환 링 (항상 $1$). 허락하다$p(x)=a_0+a_1x + \ldots +a_nx^n$ 차수의 다항식이어야한다 $n$ 계수로 $R$. 그런 다음 우리는$p$ 존재하는 경우에만 원시적입니다. $c_0,c_1 ,\ldots,c_n $ 에 $R$ 그런 $$a_0c_0+a_1 c_1 +\ldots + a_n c_n =1.$$ 그런 다음 Bezout 도메인에서 계수의 GCD가 다음과 같으면 다항식은 원시적입니다. $1$UFD에서 소수가 모든 계수를 나누지 않으면 0이 아닌 다항식은 원시적입니다. (제로 다항식은 사소하지 않은 링에 대해 원시적이지 않습니다.) 모든 교환 링에서 단항식은 계수가 반전 가능하면 원시입니다. 마지막으로, 필드에 대한 다항식은 0이 아니면 원시적입니다 (따라서 정수 링에 실제로 관심이 없는지 확인해야합니다).