모든 요소 $\mathbb{R}$ 의 회원 $\mathbb{Q}$ 그것의 초월 기초의 유한 한 많은 구성원들과 인접합니까?

Dec 25 2020

최근에 저는 초월 적 기반 의 개념을 사용하여 문제에 대한 다소 비 구조적인 해결책을 만드는 데 관심 이 있습니다.$\mathbb{R}$ 위에 $\mathbb{Q}$, 이것은 선택의 공리를 가정하고 존재하지만 나는 기본적인 필드 이론 만 알고 있습니다. 이해도가 높아지는 과정에서 다음과 같이 질문합니다.

허락하다 $W$ 초월의 기초가되다 $\mathbb{R}$ 위에 $\mathbb{Q}$. 사실인가요$$\mathbb{R} = \bigcup_{w\subset W, \;w \text{ finite}}\mathbb{Q}(w)$$? "finite"를 "countable"로 바꾸면 어떨까요?

답변

5 AndreasCaranti Dec 25 2020 at 04:56

아마도 내가 뭔가를 놓치고 있지만, 예를 들어이 MSE 게시물 에서 인용 하면 :

세트 $T$ 확장 필드의 요소 수 $k/F$다음과 같은 경우 초월 기반입니다.

  1. 모든 $n$, 그리고 뚜렷한 $t_{1}, \dots, t_{n} \in T$, 0이 아닌 다항식이 없습니다. $f(X_1,\dots,X_n)\in F[X_1,\dots,X_n]$ 그런 $f(t_1,\dots,t_n)=0$;
  2. $k$ 대수적이다 $F(T)$.

그래서 같은 요소 $\sqrt{2}$ 당신의 어느 곳에도 없을 것입니다 $\mathbb{Q}(w)$.

1 EthanBolker Dec 25 2020 at 04:44

편집 . 이 대답은 틀 렸습니다. 나는 "초월 기저"를 "벡터 공간 기저"로 읽었습니다. @AndreasCaranti의 대답이 맞다고 생각합니다. 나는 다른 사람이 같은 실수를하지 않도록 내 것을 남겨 둘 것입니다.


예, 모든 요소가 $\mathbb{R}$ 유한하다 $\mathbb{Q}$-기초 요소의 선형 조합. 이는 해당 확장의 결합에 있음을 의미합니다.