모멘트 맵에 대한 질문

Question

허락하다 $(M,\omega)$ 토러스의 해밀턴 동작을 부여받은 심플 렉틱 매니 폴드 $T$. 허락하다$\mu : M \longrightarrow {Lie(T)}^*,$이 작업과 관련된 순간지도가됩니다. 허락하다$S_M =\bigcap\limits_{m \in M} Stab(m)$, 및 $s_m$ 거짓말 대수입니다.

순간지도에 대해 두 가지 질문이 있습니다.

I) 왜 모멘트 맵이 $M^T$ ?

II) 나는 각각에 대해 알고 $m \in M $, 탄젠트 맵의 이미지 $\mu $ m에서 $ Im(T_m \mu)={(s_m)}^\bot = \lbrace \eta \in Lie(T) \mid \langle \eta , X \rangle = 0 , \forall X \in s_m \rbrace $. 이것은 모멘트 맵에 의한 M의 이미지가 선형 공간이 지향하는 아핀 공간이라는 것을 어떻게 의미합니까?${(s_m)}^\bot$ ?

Answer 1

해밀턴 서클 행동에 대한 직관을 구축 한 다음이를 일반적인 사례로 가져 오는 것이 항상 도움이된다고 생각합니다.

해밀턴 원 액션의 경우 벡터 필드가 있습니다. $X$ (즉, 벡터 장의 적분 곡선은 $S^1$-액션) 및 부드러운 기능 $H : M \rightarrow \mathbb{R}$, 방정식에 따라 : $$dH = \omega(X,\cdot) .$$

이제 위의 정체성에 의해 포인트 $p$ 에 의해 수정 $S^{1}$ $\iff$ $X|_p=0$ $\iff$ $dH|_p=0$.

따라서 Hamiltonian의 미분은 고정 소수점 집합의 구성 요소에서 정확히 0이므로 $H$그들에게 일정해야합니다. 더 높은 차원의 토러스 액션의 경우 거짓말 대수에 대한 기초를 선택하고이 인수를 각 구성 요소에 적용하면 인수가 제공됩니다.

에 대한 $2$ 모멘트 맵의 이미지가 볼록 폴리 토프이지만 항상 아핀 공간이 아니기 때문에 명확히해야한다고 생각합니다 (AGS 볼록 정리에 의해).